What is Euler's Identity?

מהי זהות אוילר?

e^iπ + 1 = 0

חמישה קבועים יסודיים. משוואה אחת. שום דבר נוסף אינו נדרש.

חמשת הקבועים

e

מספר אוילר≈ 2.71828…

בסיס הלוגריתמים הטבעיים. שולט בגדילה ובדעיכה.

i

היחידה המדומה= √(−1)

מקיימת i² = −1. יסוד המספרים המרוכבים.

π

פאי≈ 3.14159…

היחס בין היקף המעגל לקוטרו.

1

אחד

האיבר הנייטרלי של הכפל. כל מספר × 1 = הוא עצמו.

0

אפס

האיבר הנייטרלי של החיבור. כל מספר + 0 = הוא עצמו.

זהות אוילר נובעת מנוסחת אוילר: e^ix = cos(x) + i·sin(x). הצבת x = π נותנת e^iπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, ולכן e^iπ + 1 = 0.

שלב אחר שלב

נוסחת אוילרeⁱˣ = cos(x) + i·sin(x)

הצב x = πeⁱπ = cos(π) + i·sin(π)

חשבeⁱπ = −1 + 0i

פשטeⁱπ = −1

הוסף 1eⁱπ + 1 = 0 ✓

מבט ממעגל היחידה

e^iθ משרטט את מעגל היחידה. סיבוב ב-π מגיע אל −1. הוסף 1 ותקבל 0.

מדוע המתמטיקאים אוהבים אותה

היא מקשרת בין חשבון (0 ו-1), אלגברה (i), גאומטריה (π) ואנליזה (e) · ארבעה ענפים שונים של המתמטיקה · במשוואה אחת בפשטות מרהיבה. ריצ'רד פיינמן כינה אותה "הנוסחה המופלאה ביותר במתמטיקה".

היסטוריה

לאונרד אוילר (1707–1783) פרסם את הנוסחה e^ix = cos(x) + i·sin(x) בספרו Introductio in analysin infinitorum (1748). הזהות היא מקרה פרטי עבור x = π. אוילר הציג או הפיץ את הסימונים e, i, f(x), Σ ו-π.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

למידע נוסף על e →למידע נוסף על π →

Taylor series for e to the i pi showing it equals minus 1

The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.

Geometric meaning: rotation on the complex plane

The formula e^(i*theta) traces a unit circle on the complex plane as theta increases. e^(i*pi) is a rotation of exactly pi radians (180 degrees) from 1, landing at -1. Adding 1 brings you back to 0. This is why e^(i*pi) + 1 = 0: it is a half-turn of the complex plane expressed as an equation.

e^(iπ) is a half-turn: it sends every point to its opposite

e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.

The five constants in Euler's identity

e^(iπ) + 1 = 0

e ≈ 2.71828 (natural growth) · i = √(−1) (imaginary unit)

π ≈ 3.14159 (circle ratio) · 1 (multiplicative identity) · 0 (additive identity)

Five fundamental constants, three operations (+, ×, exponentiation), one equation.

Related topics

E Pi Complex Numbers

Euler's Number e → Pi (π) → Complex Numbers → De Moivre's Theorem → Taylor Series →

Key facts about Euler's Identity

Euler's identity e^(i*pi) + 1 = 0 unites the five most important constants in mathematics: e (the base of natural logarithms), i (the imaginary unit), pi (the circle constant), 1 (the multiplicative identity), and 0 (the additive identity). It follows directly from Euler's formula e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) by setting theta = pi. Since cos(pi) = -1 and sin(pi) = 0, we get e^(i*pi) = -1. First published by Euler around 1748. Voted the most beautiful equation in mathematics in multiple polls.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

What is Euler's formula (the generalised version)?

tap · space

1 / 10

מוכנים לשחק?

פאי

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.