מהו פאי (π)?
פאי הוא היחס בין היקף כל מעגל לקוטרו. ללא קשר לגודל המעגל, יחס זה הוא תמיד בדיוק אותו דבר: π = 3.14159265358979... ההגדרה גאומטרית אך פאי מופיע בפיזיקה, בהסתברות, בהנדסה ובכל ענף של המתמטיקה.
פאי אינו ניתן לכתיבה כשבר של שני שלמים (הוכח על ידי יוהאן היינריך למברט ב-1761). הוא גם טרנסצנדנטי: אינו פתרון לאף פולינום עם מקדמים שלמים (הוכח על ידי פרדיננד פון לינדמן ב-1882). פירוש הדבר שבלתי אפשרי לרבע מעגל באמצעות מחוגה וסרגל. הפיתוח העשרוני שלו לעולם אינו מסתיים ולעולם אינו חוזר על עצמו.
ארכימדס מסירקוז (~250 לפנה"ס) היה הראשון לתחום את פאי בקפדנות, והראה שהוא נמצא בין 3+10/71 ל-3+1/7 באמצעות מצולעים חסומים וחוסמים בעלי 96 צלעות. הבבלים השתמשו ב-3.125, והמצרים ב-3.1605. הסמל π הוצג על ידי המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס ב-1706 ופופולר על ידי אוילר. נכון ל-2024, פאי חושב עד למעלה מ-100 טריליון ספרות עשרוניות.
פאי מופיע הרבה מעבר למעגלים: בהתפלגות הנורמלית (עקומת הפעמון מכילה √(2π)), בזהות של אוילר e^(iπ) + 1 = 0, בהסתברות ששני שלמים אקראיים אינם חולקים גורם משותף (6/π²), בקירוב העצרת של סטירלינג n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, במכניקת הקוונטים, ובנוסחת נפח הכדור (4πr³/3).
π ≈ 3.14159265358979323846. אי-רציונלי (למברט, 1761). טרנסצנדנטי (לינדמן, 1882). יום הפאי הוא 14 במרץ (3/14 בפורמט התאריך האמריקאי). השבר 22/7 מעריך את פאי ביתר ב-0.04%. הקירוב הטוב יותר 355/113 מדויק עד 6 ספרות עשרוניות. האם פאי הוא מספר נורמלי (כל רצף ספרות מופיע בתדירות שווה) אינו ידוע אך מאמינים בכך בהרחבה.
Archimedes used 96-sided polygons to prove 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, giving 3.1408 < π < 3.1429. He never computed π, he trapped it. The method works because the circle's perimeter lies between the two polygon perimeters.
פאי הוא מספר אי-רציונלי. הפיתוח העשרוני שלו אינו מסתיים לעולם ואינו חוזר על עצמו. הספרות המוצגות למטה מאומתות מול נוסחת מצ'ין.
FAQ
-
מי גילה את \u03C0 ומתי?
המצרים והבבליים העתיקים קירבו את \u03C0 סביב 1900-1600 לפנה״ס. ארכימדס מסירקוזה (~250 לפנה״ס) נתן את השיטה המדויקת הראשונה לחישובו. המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס הציג את הסמל \u03C0 ב-1706, ולאונרד אוילר הפך אותו לפופולרי ברחבי העולם. -
מדוע 14 במרץ נקרא יום פאי?
בפורמט חודש/יום המשמש בארה״ב, 3/14 תואם את שלוש הספרות הראשונות של \u03C0 (3.14...). יום פאי אורגן לראשונה על ידי הפיזיקאי לארי שו באקספלורטוריום של סן פרנסיסקו ב-1988, וקונגרס ארה״ב הכיר בו רשמית ב-2009. -
מתי הוכיחו ש-\u03C0 הוא אי-רציונלי?
יוהאן היינריך למברט הוכיח ש-\u03C0 הוא אי-רציונלי ב-1761, כלומר לא ניתן לכתוב אותו כשבר פשוט. מתמטיקאים השתמשו בקירובים כמו 22/7 במשך מאות שנים בלי לדעת אם שבר מדויק קיים. -
מתי הוכיחו ש-\u03C0 הוא טרנסנדנטי?
פרדיננד פון לינדמן הוכיח ש-\u03C0 הוא טרנסנדנטי ב-1882. זה פתר את הבעיה היוונית העתיקה של ריבוע המעגל - בניית ריבוע בעל שטח זהה למעגל באמצעות מחוגה וסרגל בלבד - והוכיח שזה בלתי אפשרי. -
איזו נוסחה משמשת לחישוב \u03C0 עד מיליארדי ספרות?
חישובים מודרניים משתמשים בנוסחת צ'ודנובסקי ובנוסחת ביילי-בורווין-פלוף (BBP). נוסחת BBP (פורסמה ב-1995) מאפשרת לחשב כל ספרה הקסדצימלית של \u03C0 ישירות מבלי לחשב את הספרות הקודמות.
Pi
שננו את פאי, e ו-38 קבועים מתמטיים בשיטת המסלול על לוח המספרים
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.