מהו פאי (π)?
פאי הוא היחס בין היקף כל מעגל לקוטרו. ללא קשר לגודל המעגל, יחס זה הוא תמיד בדיוק אותו דבר: π = 3.14159265358979... ההגדרה גאומטרית אך פאי מופיע בפיזיקה, בהסתברות, בהנדסה ובכל ענף של המתמטיקה.
פאי אינו ניתן לכתיבה כשבר של שני שלמים (הוכח על ידי יוהאן היינריך למברט ב-1761). הוא גם טרנסצנדנטי: אינו פתרון לאף פולינום עם מקדמים שלמים (הוכח על ידי פרדיננד פון לינדמן ב-1882). פירוש הדבר שבלתי אפשרי לרבע מעגל באמצעות מחוגה וסרגל. הפיתוח העשרוני שלו לעולם אינו מסתיים ולעולם אינו חוזר על עצמו.
ארכימדס מסירקוז (~250 לפנה"ס) היה הראשון לתחום את פאי בקפדנות, והראה שהוא נמצא בין 3+10/71 ל-3+1/7 באמצעות מצולעים חסומים וחוסמים בעלי 96 צלעות. הבבלים השתמשו ב-3.125, והמצרים ב-3.1605. הסמל π הוצג על ידי המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס ב-1706 ופופולר על ידי אוילר. נכון ל-2024, פאי חושב עד למעלה מ-100 טריליון ספרות עשרוניות.
פאי מופיע הרבה מעבר למעגלים: בהתפלגות הנורמלית (עקומת הפעמון מכילה √(2π)), בזהות של אוילר e^(iπ) + 1 = 0, בהסתברות ששני שלמים אקראיים אינם חולקים גורם משותף (6/π²), בקירוב העצרת של סטירלינג n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, במכניקת הקוונטים, ובנוסחת נפח הכדור (4πr³/3).
π ≈ 3.14159265358979323846. אי-רציונלי (למברט, 1761). טרנסצנדנטי (לינדמן, 1882). יום הפאי הוא 14 במרץ (3/14 בפורמט התאריך האמריקאי). השבר 22/7 מעריך את פאי ביתר ב-0.04%. הקירוב הטוב יותר 355/113 מדויק עד 6 ספרות עשרוניות. האם פאי הוא מספר נורמלי (כל רצף ספרות מופיע בתדירות שווה) אינו ידוע אך מאמינים בכך בהרחבה.
Archimedes used 96-sided polygons to prove 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, giving 3.1408 < π < 3.1429. He never computed π, he trapped it. The method works because the circle's perimeter lies between the two polygon perimeters.
פאי is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the נוסחת מצ'ין.
Pi
שננו את פאי, e ו-38 קבועים מתמטיים בשיטת המסלול על לוח המספרים
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.