ln 2 — це натуральний логарифм числа 2: степінь, до якого потрібно піднести e, щоб отримати 2. Геометрично це площа під кривою y = 1/x від x = 1 до x = 2. Чисельно 2.71828… у степені 0.69314… дорівнює рівно 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. Так визначається натуральний логарифм: ln(a) — це площа під 1/x від 1 до a.
ln 2 — це стала періоду напіврозпаду. Будь-яка величина, що зменшується вдвічі з фіксованою швидкістю, задовольняє рівняння N(t) = N₀ · e^(−λt). Період напіврозпаду дорівнює t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ. Це застосовується до радіоактивного розпаду, виведення ліків із кровотоку, розряджання конденсатора та охолодження кави.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... збігається до ln 2 ≈ 0.6931, коливаючись навколо границі. Збіжність повільна: кожен другий член перекидає суму через межу.
ln 2 є трансцендентним числом (Ліндеман—Вейєрштрасс, 1885). В теорії інформації воно переводить нати в біти: 1 біт = ln(2) ната ≈ 0.693 ната. Ряд 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ⋯ збігається точно до ln 2. Обчислене значення: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 є сталою розпаду. Після 1 періоду напіврозпаду лишається 50%. Після 10 — 0.1%.
Натуральний логарифм 2 приблизно дорівнює 0.69314718055994530941. Він ірраціональний і трансцендентний. Ln 2 дорівнює площі під гіперболою y = 1/x від x = 1 до x = 2. Він керує кожним подвоєнням і кожним зменшенням удвічі: величина, що зростає зі швидкістю r, подвоюється за час ln(2)/r. В теорії інформації 1 біт інформації дорівнює ln 2 натам. У комп’ютингу кількість двійкових цифр, потрібних для представлення n значень, дорівнює log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Натуральний логарифм 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ряд меркатора.