What is Euler's Identity?
เอกลักษณ์ของออยเลอร์คืออะไร?
เอกลักษณ์ของออยเลอร์ได้มาจากสูตรของออยเลอร์: eix = cos(x) + i·sin(x) เมื่อแทน x = π จะได้ eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1 ดังนั้น eiπ + 1 = 0
eiθ เดินตามวงกลมหนึ่งหน่วย การหมุนเป็นมุม π จะสิ้นสุดที่ −1 บวก 1 เข้าไปแล้วได้ 0
สมการเชื่อมโยง เลขคณิต (0 และ 1), พีชคณิต (i), เรขาคณิต (π) และ การวิเคราะห์ (e) · สี่สาขาที่แตกต่างกันของคณิตศาสตร์ · เข้าด้วยกันในสมการเดียวที่เรียบง่ายอย่างน่าทึ่ง ริชาร์ด ไฟน์แมนเรียกสมการนี้ว่า "สูตรที่น่าทึ่งที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์"
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707–1783) เผยแพร่สูตร eix = cos(x) + i·sin(x) ในหนังสือ Introductio in analysin infinitorum (1748) เอกลักษณ์นี้เป็นกรณีเฉพาะเมื่อ x = π ออยเลอร์เป็นผู้แนะนำหรือทำให้สัญลักษณ์ e, i, f(x), Σ และ π เป็นที่รู้จัก
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
The formula e^(i*theta) traces a unit circle on the complex plane as theta increases. e^(i*pi) is a rotation of exactly pi radians (180 degrees) from 1, landing at -1. Adding 1 brings you back to 0. This is why e^(i*pi) + 1 = 0: it is a half-turn of the complex plane expressed as an equation.
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
Euler's identity e^(i*pi) + 1 = 0 unites the five most important constants in mathematics: e (the base of natural logarithms), i (the imaginary unit), pi (the circle constant), 1 (the multiplicative identity), and 0 (the additive identity). It follows directly from Euler's formula e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) by setting theta = pi. Since cos(pi) = -1 and sin(pi) = 0, we get e^(i*pi) = -1. First published by Euler around 1748. Voted the most beautiful equation in mathematics in multiple polls.
พาย
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
