Το √2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου. Τοποθέτησε ένα τετράγωνο με πλευρές μήκους 1 πάνω σε ένα τραπέζι. Η απόσταση από τη μία γωνία στην απέναντι γωνία είναι ακριβώς √2. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: 1² + 1² = (√2)².
Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν γύρω στο 500 π.Χ. ότι το √2 δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα p/q όπου p και q είναι ακέραιοι. Η απόδειξη με άτοπο είναι κομψή: υπέθεσε ότι √2 = p/q σε απλούστερη μορφή. Τότε 2q² = p², άρα το p² είναι άρτιο, άρα και το p είναι άρτιο, γράψε p = 2k. Τότε 2q² = 4k², άρα q² = 2k², άρα και το q είναι άρτιο. Αυτό αντιφάσκει με το ότι το p/q ήταν σε απλούστερη μορφή. Άρα το √2 είναι άρρητο.
Συγκλίνοντα από το συνεχές κλάσμα [1; 2, 2, 2, …]. Κάθε κλάσμα είναι η καλύτερη ρητή προσέγγιση με αυτόν τον παρονομαστή.
Συγκλίνοντα της τετραγωνικής ρίζας του 2 από συνεχές κλάσμα
| κλάσμα | δεκαδικό | σφάλμα |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
Το √2 είναι αλγεβρικό (ικανοποιεί την εξίσωση x² = 2) αλλά άρρητο. Στην τριγωνομετρία: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Η σειρά χαρτιών Α (A4, A3, A2…) χρησιμοποιεί τον λόγο 1:√2, έτσι ώστε το δίπλωμα ενός φύλλου στη μέση να δίνει τις ίδιες αναλογίες. Υπολογισμένο με πλήρη ακρίβεια: 1.41421356237309504880168872…
Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία κάθετη ίση με την προηγούμενη υποτείνουσα και μία κάθετη ίση με 1. Οι υποτείνουσες είναι √1, √2, √3, √4, √5… Οι περισσότερες είναι άρρητες. Το √2 (κόκκινο) ήταν το πρώτο που αποδείχθηκε άρρητο, από τους Πυθαγόρειους γύρω στο 500 π.Χ.
Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι περίπου 1.41421356237309504880. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε άρρητος, από τους αρχαίους Έλληνες γύρω στο 500 π.Χ. Είναι αλγεβρικός, αφού ικανοποιεί την εξίσωση x² = 2. Εμφανίζεται ως το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου, στο ίσο συγκερασμένο μουσικό κούρδισμα (κάθε ημιτόνιο πολλαπλασιάζει τη συχνότητα με τη 12η ρίζα του 2), στις διαστάσεις χαρτιού της σειράς Α (το A4 διπλωμένο δίνει A5, ίδιες αναλογίες) και στο Πυθαγόρειο θεώρημα όταν οι κάθετες πλευρές είναι ίσες.
Τετραγωνική Ρίζα του 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the συνεχές κλάσμα.