Qu'est-ce que √2 (racine carrée de 2) ?
√2 est la longueur de la diagonale d'un carré unitaire. Placez un carré de côté 1 sur une table. La distance d'un coin au coin opposé est exactement √2. C'est le théorème de Pythagore : 1² + 1² = (√2)².
Les Pythagoriciens découvrirent vers 500 av. J.-C. que √2 ne peut pas s'exprimer comme une fraction p/q où p et q sont des entiers. La démonstration par l'absurde est élégante : supposons √2 = p/q sous forme irréductible. Alors 2q² = p², donc p² est pair, donc p est pair, écrivons p = 2k. Alors 2q² = 4k², donc q² = 2k², donc q est aussi pair. Cela contredit le fait que p/q est irréductible. √2 est irrationnel.
Convergents de la fraction continue [1; 2, 2, 2, …]. Chaque fraction est la meilleure approximation rationnelle avec ce dénominateur.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 est algébrique (il satisfait x² = 2) mais irrationnel. En trigonométrie : sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. La série de papier A (A4, A3, A2…) utilise le rapport 1:√2, de sorte que plier une feuille en deux donne les mêmes proportions. Calculé en précision complète : 1,41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
La racine carrée de 2 vaut environ 1,41421356237309504880. C'est le premier nombre jamais prouvé irrationnel, par les Grecs anciens vers 500 av. J.-C. Il est algébrique, satisfaisant x² = 2. Il apparaît comme la longueur de la diagonale d'un carré unitaire, dans l'accordage musical tempéré (chaque demi-ton multiplie la fréquence par la racine douzième de 2), dans les dimensions du papier de la série A (plier un A4 donne un A5, mêmes proportions), et dans le théorème de Pythagore lorsque les côtés sont égaux.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
Pi
Mémorise pi, e et 38 constantes mathématiques avec la méthode du pavé numérique
Jouer maintenant - c'est gratuitAucun compte nécessaire. Fonctionne sur tout appareil.