Skip to main content

What is Euler's Identity?

Що таке тотожність Ейлера?

eiπ + 1 = 0
П'ять фундаментальних сталих. Одне рівняння. Більше нічого не потрібно.
П'ять сталих
e
Число Ейлера≈ 2.71828…
Основа натуральних логарифмів. Керує зростанням і спадом.
i
Уявна одиниця= √(−1)
Задовольняє i² = −1. Основа комплексних чисел.
π
Пі≈ 3.14159…
Відношення довжини кола до його діаметра.
1
Одиниця
Нейтральний елемент множення. Будь-яке число × 1 = саме воно.
0
Нуль
Нейтральний елемент додавання. Будь-яке число + 0 = саме воно.

Тотожність Ейлера випливає з формули Ейлера: eix = cos(x) + i·sin(x). Підставляючи x = π, отримуємо eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, отже eiπ + 1 = 0.

Крок за кроком
Формула Ейлераeⁱˣ = cos(x) + i·sin(x)
Підстав x = πeⁱπ = cos(π) + i·sin(π)
Обчислиeⁱπ = −1 + 0i
Спростиeⁱπ = −1
Додай 1eⁱπ + 1 = 0 ✓
Погляд на одиничне коло
+1−1π

eiθ креслить одиничне коло. Поворот на π приводить до −1. Додай 1 і отримаєш 0.

Чому математики її люблять

Вона поєднує арифметику (0 і 1), алгебру (i), геометрію (π) та математичний аналіз (e) · чотири різні галузі математики · в одному рівнянні приголомшливої простоти. Річард Фейнман назвав її «найчудовішою формулою в математиці».

Історія

Леонард Ейлер (1707–1783) опублікував формулу eix = cos(x) + i·sin(x) у своїй праці Introductio in analysin infinitorum (1748). Тотожність є її частковим випадком при x = π. Ейлер ввів або популяризував позначення e, i, f(x), Σ та π.

Used in
∑Mathematics
✓
⚛Physics
✓
⚙Engineering
✓
🧬Biology
–
💻Computer Sci
✓
📊Statistics
–
📈Finance
–
🎨Art
–
🏛Architecture
–
♪Music
–
🔐Cryptography
–
🌌Astronomy
–
⚗Chemistry
–
🦉Philosophy
–
🗺Geography
–
🌿Ecology
–
Дізнайтеся більше про e →Дізнайтеся більше про π →
Taylor series for e to the i pi showing it equals minus 1
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … Substitute x = iπ: = 1 + iπ − π²/2! − iπ³/3! + π⁴/4! + iπ⁵/5! − … Group real and imaginary: Real = 1 − π²/2! + π⁴/4! − … = cos(π) = −1 Imag = π − π³/3! + π⁵/5! − … = sin(π) = 0 e^(iπ) = −1 + 0i = −1 ✓

The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.

Geometric meaning: rotation on the complex plane

The formula e^(i*theta) traces a unit circle on the complex plane as theta increases. e^(i*pi) is a rotation of exactly pi radians (180 degrees) from 1, landing at -1. Adding 1 brings you back to 0. This is why e^(i*pi) + 1 = 0: it is a half-turn of the complex plane expressed as an equation.

e^(iπ) is a half-turn: it sends every point to its opposite
e^(i·0)=1 e^(iπ)=-1 π i -i Multiplying by e^(iπ) rotates any number by exactly π radians (180°)

e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.

The five constants in Euler's identity
e^(iπ) + 1 = 0
e ≈ 2.71828 (natural growth) · i = √(−1) (imaginary unit)
π ≈ 3.14159 (circle ratio) · 1 (multiplicative identity) · 0 (additive identity)
Five fundamental constants, three operations (+, ×, exponentiation), one equation.
Related topics
E Pi Complex Numbers
Euler's Number e → Pi (π) → Complex Numbers → De Moivre's Theorem → Taylor Series →
Key facts about Euler's Identity

Euler's identity e^(i*pi) + 1 = 0 unites the five most important constants in mathematics: e (the base of natural logarithms), i (the imaginary unit), pi (the circle constant), 1 (the multiplicative identity), and 0 (the additive identity). It follows directly from Euler's formula e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) by setting theta = pi. Since cos(pi) = -1 and sin(pi) = 0, we get e^(i*pi) = -1. First published by Euler around 1748. Voted the most beautiful equation in mathematics in multiple polls.

Used in
∑Mathematics
✓
⚛Physics
✓
⚙Engineering
✓
🧬Biology
–
💻Computer Sci
✓
📊Statistics
–
📈Finance
–
🎨Art
–
🏛Architecture
–
♪Music
–
🔐Cryptography
–
🌌Astronomy
–
⚗Chemistry
–
🦉Philosophy
–
🗺Geography
–
🌿Ecology
–
Want to test your knowledge?
Question
Who discovered Euler's identity?
tap · space
1 / 10
Готові грати?
π

Пі

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Інші безкоштовні ігри
🧮МатематикаSolve arithmetic problems against the clock🧠Гра памʼятіMatch emoji cards with their word labels across 10 categories
Topic roundups
#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.