What is Euler's Identity?

Mi az Euler-azonosság?

e^iπ + 1 = 0

Öt alapvető állandó. Egyetlen egyenlet. Semmi másra nincs szükség.

Az öt állandó

e

Euler-szám≈ 2.71828…

A természetes logaritmus alapja. A növekedést és a bomlást irányítja.

i

Képzetes egység= √(−1)

Teljesíti, hogy i² = −1. A komplex számok alapja.

π

Pí≈ 3.14159…

Egy kör kerületének és átmérőjének aránya.

1

Egy

A szorzás semleges eleme. Bármely szám × 1 = önmaga.

0

Nulla

Az összeadás semleges eleme. Bármely szám + 0 = önmaga.

Az Euler-azonosság az Euler-formulából következik: e^ix = cos(x) + i·sin(x). Ha x = π, akkor e^iπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, így e^iπ + 1 = 0.

Lépésről lépésre

Euler-formulaeⁱˣ = cos(x) + i·sin(x)

Legyen x = πeⁱπ = cos(π) + i·sin(π)

Kiértékeléseⁱπ = −1 + 0i

Egyszerűsítéseⁱπ = −1

Adj hozzá 1-eteⁱπ + 1 = 0 ✓

Az egységkör nézőpontja

e^iθ bejárja az egységkört. Egy π-vel történő elforgatás a −1 pontba ér. Adj hozzá 1-et, és 0-t kapsz.

Miért szeretik a matematikusok

Összeköti az aritmetikát (0 és 1), az algebrát (i), a geometriát (π) és az analízist (e) · a matematika négy különböző ágát · egyetlen, bámulatos egyszerűségű egyenletben. Richard Feynman „a matematika legfigyelemreméltóbb képletének” nevezte.

Történelem

Leonhard Euler (1707–1783) az e^ix = cos(x) + i·sin(x) formulát Introductio in analysin infinitorum (1748) című művében közölte. Az azonosság ennek a speciális esete x = π mellett. Euler vezette be vagy tette népszerűvé az e, i, f(x), Σ és π jelöléseket.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Tudj meg többet az e-ről →Tudj meg többet a π-ről →

Taylor series for e to the i pi showing it equals minus 1

The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.

Geometric meaning: rotation on the complex plane

The formula e^(i*theta) traces a unit circle on the complex plane as theta increases. e^(i*pi) is a rotation of exactly pi radians (180 degrees) from 1, landing at -1. Adding 1 brings you back to 0. This is why e^(i*pi) + 1 = 0: it is a half-turn of the complex plane expressed as an equation.

e^(iπ) is a half-turn: it sends every point to its opposite

e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.

The five constants in Euler's identity

e^(iπ) + 1 = 0

e ≈ 2.71828 (natural growth) · i = √(−1) (imaginary unit)

π ≈ 3.14159 (circle ratio) · 1 (multiplicative identity) · 0 (additive identity)

Five fundamental constants, three operations (+, ×, exponentiation), one equation.

Related topics

E Pi Complex Numbers

Euler's Number e → Pi (π) → Complex Numbers → De Moivre's Theorem → Taylor Series →

Key facts about Euler's Identity

Euler's identity e^(i*pi) + 1 = 0 unites the five most important constants in mathematics: e (the base of natural logarithms), i (the imaginary unit), pi (the circle constant), 1 (the multiplicative identity), and 0 (the additive identity). It follows directly from Euler's formula e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) by setting theta = pi. Since cos(pi) = -1 and sin(pi) = 0, we get e^(i*pi) = -1. First published by Euler around 1748. Voted the most beautiful equation in mathematics in multiple polls.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Who discovered Euler's identity?

tap · space

1 / 10

Készen áll a játékra?

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Játsszon most - ingyenes

Nincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.