φ (фі) — додатний розв’язок рівняння x² = x + 1. Це рівняння має геометричний зміст: якщо поділити відрізок так, що відношення всього відрізка до більшої частини дорівнює відношенню більшої частини до меншої, то це відношення і є φ. Жодне інше число не має такої самоподібної властивості.
Таблиця збіжності відношень чисел Фібоначчі до φ
| Пара Фібоначчі | відношення | відстань до φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Золотий переріз з’являється в правильному п’ятикутнику та пентаграмі, де діагоналі ділять одна одну у золотому відношенні. Кожне число Фібоначчі, поділене на попереднє, прямує до φ. Неперервний дріб [1; 1, 1, 1, …] — це найпростіший нескінченний неперервний дріб: усі коефіцієнти дорівнюють 1. Саме це робить φ числом, яке найважче наближати дробами, і дає йому назву «найірраціональніше число».
Відріжте квадрат від золотого прямокутника. Те, що лишається, — ще один золотий прямокутник, менший у 1/φ раза. Повторюйте без кінця. Дуга окреслює золоту спіраль, яку бачимо в мушлях і галактиках.
φ задовольняє φ² = φ + 1, отже φ = 1 + 1/φ. Повторюючи підстановку, дістаємо: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Цей нескінченний неперервний дріб, що складається лише з одиниць, є і визначенням, і причиною його статусу «найірраціональнішого» числа. Обчислене значення з повною точністю: 1.61803398874989484820…
У правильному п’ятикутнику зі стороною 1 кожна діагональ має довжину φ ≈ 1.618. Діагоналі також ділять одна одну в золотому відношенні. Проведіть усі п’ять діагоналей — і отримаєте пентаграму, яка сама теж заповнена золотими пропорціями.
Золотий переріз φ приблизно дорівнює 1.61803398874989484820. Це додатний розв’язок рівняння x² = x + 1. Число φ є ірраціональним, алгебраїчним і є граничним відношенням сусідніх чисел Фібоначчі. Воно з’являється в правильному п’ятикутнику та ікосаедрі, у спіралях насіння соняшника та в пропорціях, які вивчають ще з часів давньої Греції. Його неперервний дріб [1; 1, 1, 1, ...] робить його дійсним числом, яке найважче наближати дробами, і саме тому філотаксис використовує золотий кут, похідний від φ.
Золотий переріз φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the неперервний дріб.