φ, uitgesproken als phi, is de positieve oplossing van de vergelijking x² = x + 1. Deze vergelijking heeft een meetkundige betekenis: verdeel je een lijnstuk zo dat het hele lijnstuk zich tot het langere deel verhoudt zoals het langere deel tot het kortere, dan is die verhouding φ. Geen enkel ander getal heeft precies deze zelfgelijkende eigenschap.
Tabel van Fibonacci-quotiënten die φ benaderen.
| Fib-Paar | Quotient | Abstand zu φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
De gulden snede verschijnt in de regelmatige vijfhoek en in het pentagram, waar de diagonalen elkaar delen in de verhouding φ. Elk Fibonacci-getal gedeeld door zijn voorganger nadert φ. De kettingbreuk [1; 1, 1, 1, …] is de eenvoudigste oneindige kettingbreuk die er is; hij bestaat alleen uit enen en convergeert precies naar φ.
Snijd je uit een gulden rechthoek een vierkant weg, dan blijft een kleinere gulden rechthoek over, geschaald met factor 1/φ. Herhaal je dit eindeloos, dan tekent de boog de gulden spiraal, zoals in schelpen en sterrenstelsels.
φ voldoet aan φ² = φ + 1 en dus ook aan φ = 1 + 1/φ. Vul je dat steeds opnieuw in, dan krijg je φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Deze oneindige kettingbreuk van uitsluitend enen is zowel een definitie als een reden voor haar reputatie als “meest irrationele” getal. Volledige waarde: 1,61803398874989484820…
In een regelmatige vijfhoek met zijde 1 heeft elke diagonaal lengte φ ≈ 1,618. De diagonalen verdelen elkaar bovendien volgens de gulden snede. Teken je alle vijf diagonalen, dan ontstaat een pentagram vol gulden verhoudingen.
De gulden snede φ is ongeveer 1,61803398874989484820. Ze is de positieve oplossing van x² = x + 1. φ is irrationaal, algebraïsch en de limiet van de quotiënten van opeenvolgende Fibonacci-getallen. Ze verschijnt in de vijfhoek, in het pentagram, in de gulden rechthoek en in talloze groeipatronen. Haar oneindige kettingbreuk bestaat uitsluitend uit enen.
Gulden snede φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the kwadratische formule.
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.