ζ(3) হলো 3-এ রিমান জিটা ফাংশনের মান, অর্থাৎ সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপর 1/n³ ধারার যোগফল। জোড় ইনপুটের জন্য ইউলার সুন্দর বন্ধ রূপ পেয়েছিলেন: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945। কিন্তু বিজোড় ইনপুটের জন্য এমন কোনো সূত্র জানা নেই। ζ(3)-এ আদৌ π আছে কি না, সেটিও অজানা।
z(3) এমন দুইটি মানের মাঝখানে আছে যাদের π-সহ পরিচিত বন্ধ রূপ রয়েছে। z(3)-এ নিজে π আছে কি না, তা এখনো অজানা।
1978 সালে রজার অ্যাপেরি ঘোষণা করেন যে তিনি ζ(3) অমূলদ–এমন একটি প্রমাণ পেয়েছেন। শ্রোতারা সন্দিহান ছিলেন। অঁরি কোহেনসহ আরও কয়েকজন গণিতবিদ রাতারাতি কম্পিউটারে তা যাচাই করেন। পরদিন সকালে তারা নিশ্চিত হন যে প্রমাণটি সঠিক। এক উপস্থিত ব্যক্তি বলেছিলেন, “এ যেন নির্মেঘ আকাশে বজ্রপাত।” তখন অ্যাপেরির বয়স 64।
আংশিক যোগফল 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... নিচ থেকে ζ(3) ≈ 1.20206-এর দিকে এগোয়। অভিসৃতি ধীর: n=50 হলেও যোগফল এখনো প্ রায় 0.003 দূরে থাকে।
ζ(3)-কে π-এর সাহায্যে প্রকাশ করা যায় কি না, এটাই বড় উন্মুক্ত প্রশ্ন। সব জোড় জিটা-মানই π-এর সংশ্লিষ্ট ঘাতের একটি মূলদ গুণিতক। বিজোড় জিটা-মান যেন অন্য জগতের বাসিন্দা। অসীমসংখ্যক বিজোড় মান ζ(2n+1) যে অমূলদ, তা জানা আছে (Rivoal, 2000), কিন্তু সঠিক ধাঁচ এখনো রহস্যময়। পূর্ণ মান: 1.20205690315959428539973816151144999…
সব জোড় k-এর জন্য ζ(2k) = একটি মূলদ সংখ্যা × π^(2k)। ইউলার সব জোড় মানের জন্য এটি প্রমাণ করেন। কিন্তু ζ(3), ζ(5), ζ(7)... সম্পূর্ণ ভিন্ন। ζ(3) যে অমূলদ তা জানা (অ্যাপেরি), কিন্তু π-এর সঙ্গে কোনো সম্পর্ক জানা নেই। এটি সত্যিই π-এর থেকে স্বাধীন হতে পারে।
জোড় মানে ζ-এর π-সূত্র এবং বিজোড় মানে খোলা রহস্য দেখানো সারণি।
| জোড় s: সঠিক সূত্র | বিজোড় s: রহস্য |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | অমূলদ (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | অমূলদ? অজানা |
| সবগুলো = মূলদ × π^s | π-এর কোনো পরিচিত যোগসূত্র নেই |
অজানা। রজার অ্যাপেরি 1978 সালে zeta(3) যে অমূলদ তা প্রমাণ করেছিলেন, কিন্তু এটি অতীন্দ্রিয় কি না তা এখনো উন্মুক্ত সমস্যা। অধিকাংশ গণিতবিদ তাই মনে করেন, কিন্তু কোনো প্রমাণ নেই।
কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রোডায়নামিকসে (ইলেকট্রনের চৌম্বকীয় ভ্রামকের সংশোধনে), random matrix theory-তে এবং দ্বিমাত্রিক Ising model-এর entropy-তে। পরিসংখ্যান বলবিদ্যার Fermi–Dirac ও Bose–Einstein বণ্টনেও এটি দেখা যায়।
রামানুজন zeta(3)-এর জন্য দ্রুত অভিসারী বহু ধারা বের করেছিলেন, যার মধ্যে 7pi^3/180-সহ সূচীয় পদসমূহের যোগ আছে। তাঁর নোটবইয়ে zeta(3) সম্পর্কিত ডজনখানেক পরিচয় ছিল, যেগুলোর অধিকাংশ তাঁর মৃত্যুর বহু দশক পরে প্রমাণিত হয়।
এগুলো পূর্ণসংখ্যা A(n) = k-এর উপর C(n,k)^2 C(n+k,k)^2-এর যোগ, যা অ্যাপেরির অমূলদতা-প্রমাণে দেখা যায়। প্রথম কয়েকটি মান 1, 5, 73, 1445, 33001। এগুলো একটি recurrence relation মানে এবং এমনভাবে বাড়ে যে 1/n^3-এর আংশিক যোগফলগুলোর হর থেকে নির্দিষ্ট গুণক কেটে যায়, ফলে সীমামানটি মূলদ হতে পারে না।
অ্যাপেরির ধ্রুবক ζ(3) হলো 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959। জোড় s-এর জন্য ইউলার π-সংবলিত বন্ধ রূপ পেয়েছিলেন: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90। বিজোড় মানের জন্য এমন কোনো সূত্র জানা নেই। রজার অ্যাপেরি 1978 সালে 64 বছর বয়সে দেখান যে ζ(3) অমূলদ। ζ(3) অতীন্দ্রিয় কি না, বা π-এর সাহায্যে লেখা যায় কি না, তা এখনো অজানা।
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
এখনই খেলুন - বিনামূল্যেকোনো অ্যাকাউন্টের প্রয়োজন নেই। যেকোনো ডিভাইসে কাজ করে।