Een getal is irrationaal als het niet als een breuk p/q met gehele getallen p en q kan worden voorgesteld. De decimale ontwikkeling eindigt nooit en wordt nooit periodiek. √2, π, e en φ zijn allemaal irrationaal. Het zijn geen uitzonderingen of curiositeiten, maar juist de overweldigende meerderheid van de reële getallen.
Blauw: rationale getallen, dus exacte breuken. Rood: irrationale getallen, dus niet-periodieke decimalen. Tussen twee rationale getallen ligt altijd een irrationaal getal, en omgekeerd.
Vergelijking van rationale getallen met eindige of periodieke decimalen en irrationale getallen met oneindige, niet-periodieke decimalen.
| RATIONAL: endet oder wiederholt sich | IRRATIONAL: wiederholt sich nie |
|---|---|
| 1/4 = 0,25000... | √2 = 1,4142135... |
| endet | kein Muster, niemals |
| 1/3 = 0,3333... | π = 3,1415926... |
| periodischer Block: {3} | kein Muster, niemals |
| 22/7 = 3,142857... | e = 2,7182818... |
| periodischer Block: {142857} | kein Muster, niemals |
| 5/11 = 0,454545... | φ = 1,6180339... |
| periodischer Block: {45} | kein Muster, niemals |
De rationale getallen zijn ondanks hun oneindigheid aftelbaar. De irrationale getallen zijn niet aftelbaar. Kies je willekeurig een reëel getal, dan is de kans dat het rationaal is precies nul.
Een getal is irrationaal wanneer het niet als p/q met gehele getallen p en q kan worden geschreven. De decimale ontwikkeling eindigt nooit en wordt nooit periodiek. De pythagoreeërs bewezen al rond 500 v.Chr. dat √2 irrationaal is. Tussen twee rationale getallen ligt altijd een irrationaal getal, en tussen twee irrationale getallen ligt altijd een rationaal getal. De rationale getallen zijn aftelbaar; de irrationale niet. Kies je willekeurig een reëel getal, dan is de kans dat het rationaal is precies nul.
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.