अपरिमेय संख्याएँ क्या हैं?
कोई संख्या अपरिमेय होती है यदि उसे p/q भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों। उसका दशमलव विस्तार कभी समाप्त नहीं होता और कभी आवर्ती नहीं होता। √2, π, e और φ सभी अपरिमेय हैं। ये कोई अपवाद या जिज्ञासाएँ नहीं हैं: वास्तविक संख्याओं का विशाल बहुमत अपरिमेय होता है।
Blue: rational numbers (exact fractions). Red: irrational numbers (non-repeating decimals). Between any two rationals lies an irrational, and vice versa.
| RATIONAL: endet oder wiederholt sich | IRRATIONAL: wiederholt sich nie |
|---|---|
| 1/4 = 0,25000... | √2 = 1,4142135... |
| endet | kein Muster, niemals |
| 1/3 = 0,3333... | π = 3,1415926... |
| periodischer Block: {3} | kein Muster, niemals |
| 22/7 = 3,142857... | e = 2,7182818... |
| periodischer Block: {142857} | kein Muster, niemals |
| 5/11 = 0,454545... | φ = 1,6180339... |
| periodischer Block: {45} | kein Muster, niemals |
The rational numbers, despite being infinitely numerous, can be listed (they are countable). The irrationals cannot be listed. If you picked a real number at random, the probability of it being rational is exactly zero.
कोई संख्या अपरिमेय होती है यदि उसे p/q भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों। उसका दशमलव विस्तार कभी समाप्त नहीं होता और कभी आवर्ती नहीं होता। पाइथागोरसियों ने लगभग 500 ईसा पूर्व √2 को अपरिमेय सिद्ध किया, जो उस समय चौंकाने वाली खोज थी। π को लैम्बर्ट ने 1761 में और e को ऑयलर ने 1737 में अपरिमेय सिद्ध किया। अधिकांश वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं: परिमेय गणनीय हैं, जबकि अपरिमेय अगणनीय हैं, इसलिए किसी वास्तविक संख्या को यादृच्छिक रूप से चुनने पर अपरिमेय मिलने की प्रायिकता 1 होती है। बीजीय अपरिमेय बहुपद समीकरणों को संतुष्ट करते हैं; पारातीत संख्याएँ नहीं।
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
अभी खेलें - यह मुफ़्त हैकिसी खाते की ज़रूरत नहीं। किसी भी डिवाइस पर काम करता है।