φ (phi) è la soluzione positiva di x² = x + 1. Questa equazione ha un significato geometrico: se dividi un segmento in modo che il rapporto del tutto alla parte più lunga sia uguale al rapporto della parte più lunga alla più corta, quel rapporto è φ. Nessun altro numero possiede questa proprietà autosimile.
Table of Fibonacci ratios converging to phi
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Il rapporto aureo compare nel pentagono regolare e nel pentagramma, dove le diagonali si intersecano nel rapporto aureo. Ogni numero di Fibonacci diviso per il precedente tende a φ. La frazione continua [1; 1, 1, 1, …] è la più semplice frazione continua infinita: tutti 1. Questo fa di φ il numero più difficile da approssimare con frazioni, tanto da essere chiamato il "numero più irrazionale".
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ satisfies φ² = φ + 1, so φ = 1 + 1/φ. Substituting repeatedly: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Questo infinite frazione continua di tutti 1s è both il definition e il reason per its "most irrazionale" status. Computed un full precision: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Il rapporto aureo φ è approssimativamente 1.61803398874989484820. È la soluzione positiva di x² = x + 1. Phi è irrazionale, algebrico e il rapporto limite tra numeri di Fibonacci consecutivi. Compare nel pentagono regolare e nell'icosaedro, nelle spirali dei semi di girasole e nelle proporzioni studiate fin dall'antica Grecia. La sua frazione continua [1; 1, 1, 1, ...] lo rende il numero reale più difficile da approssimare con frazioni, motivo per cui la fillotassi usa l'angolo aureo derivato da phi.
Rapporto aureo φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the formula quadratica.