Czym jest podstawowe twierdzenie rachunku całkowego?

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

gdzie F'(x) = f(x). Najbardziej użyteczny wynik rachunku całkowego.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego łączy dwie pozornie odrębne idee. Część 1: jeśli całkujesz funkcję od ustalonego punktu do x, to pochodna tej całki jest pierwotną funkcją. Część 2: całka oznaczona funkcji f od a do b jest równa dowolnej funkcji pierwotnej F obliczonej w punkcie b minus F w punkcie a.

Pole pod x² od 0 do 2: funkcja pierwotna daje dokładny wynik

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,667. Funkcja pierwotna F(x) = x³/3 daje dokładne pole bez przybliżeń.

Przed tym twierdzeniem obliczanie pól wymagało sum Riemanna: dzielenia obszaru na cienkie prostokąty, sumowania ich i przechodzenia do granicy. Podstawowe twierdzenie zastępuje to wszystko jednym odejmowaniem. Newton rozumiał tę zależność już w 1666 roku, a Leibniz niezależnie od niego w 1675. Ich spór o pierwszeństwo podzielił na całe pokolenie matematykę brytyjską i kontynentalną.

Dwie części podstawowego twierdzenia rachunku całkowego

Part 1: d/dx [∫ₐˣ f(t)dt] = f(x)

Part 2: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) where F'(x) = f(x)

Part 1 says differentiation undoes integration. Part 2 says to evaluate an integral, find an antiderivative and subtract the endpoints.

Każda całka obliczana na kursach analizy korzysta z części 2: znajdź funkcję pierwotną, oblicz ją na końcach przedziału i odejmij. Działa to dlatego, że różniczkowanie i całkowanie są dokładnymi operacjami odwrotnymi. To jeden z najgłębszych i najużyteczniejszych wyników w całej matematyce.

Szereg Taylora → Iloczyn Wallisa →

Suma Riemanna przybliżająca pole: podstawowe twierdzenie zastępuje to jednym obliczeniem

Suma Riemanna z 8 prostokątami daje przybliżenie. Podstawowe twierdzenie daje wynik dokładny bez potrzeby prostokątów.

Zastosowanie w fizyce

Praca wykonana przez zmienną siłę F(x) przy przesunięciu od a do b ma postać W = całka od a do b z F(x) dx = P(b) - P(a), gdzie P jest funkcją energii potencjalnej spełniającą P' = -F. Prędkość całkuje się do przemieszczenia; siła całkuje się do impulsu. To właśnie podstawowe twierdzenie sprawia, że takie obliczenia są wykonalne bez nieskończonych sum Riemanna.

Powiązane tematy

e Szereg Taylora Całka Gaussa

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

✓

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Sformułuj podstawowe twierdzenie rachunku całkowego (część 2).

tap · space

1 / 10

Gotowi do gry?

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Zagraj teraz - za darmo

Bez konta. Działa na każdym urządzeniu.