¿Qué es el teorema fundamental del cálculo?
El teorema fundamental del cálculo conecta dos ideas aparentemente independientes. Parte 1: si se integra una función desde un punto fijo hasta x, la derivada de esa integral es la función original. Parte 2: la integral definida de f desde a hasta b es igual a cualquier antiderivada F evaluada en b menos F en a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,667. La antiderivada F(x) = x³/3 da el área exacta sin aproximación.
Antes de este teorema, calcular áreas requería sumas de Riemann: dividir la región en rectángulos finos, sumarlos todos y tomar el límite. El TFC reemplaza todo eso con una sola resta. Newton lo comprendió hacia 1666 y Leibniz de forma independiente hacia 1675. Su disputa sobre la prioridad dividió las matemáticas europeas y británicas durante una generación.
Toda integral que se enseña en cursos de cálculo utiliza la Parte 2: encontrar una antiderivada, evaluar en los extremos y restar. Esto funciona porque la derivación y la integración son inversas exactas entre sí. Es uno de los resultados más profundos y útiles de todas las matemáticas.
Una suma de Riemann con 8 rectángulos da ≈ 0,273. La respuesta exacta es 8/3 ≈ 2,667. El teorema fundamental da resultados exactos sin necesidad de rectángulos.
El trabajo realizado por una fuerza variable F(x) a lo largo de un desplazamiento de a a b es W = integral de a a b de F(x) dx = P(b) - P(a), donde P es la función de energía potencial que satisface P' = -F. La velocidad se integra para obtener el desplazamiento; la fuerza se integra para obtener el impulso. El TFC es lo que hace que estos cálculos sean manejables en lugar de requerir sumas de Riemann infinitas.
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