¿Qué es e (el número de Euler)?
e es el único número donde la función eˣ es su propia derivada. Comienza con cualquier cantidad y déjala crecer continuamente al 100% anual. Después de exactamente un año tienes e veces lo que empezaste. Ninguna otra base comparte esta propiedad autorreferencial.
A medida que n crece, la sucesión se aproxima a e desde abajo, convergiendo a 2,71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
La interpretación del interés compuesto: si un banco paga el 100% de interés anual pero lo capitaliza n veces al año, tu saldo crece por (1 + 1/n)ⁿ. Capitalizando mensualmente da 2,613. Capitalizando cada segundo da 2,718. Capitalizando continuamente da exactamente e.
En x=1, la altura de la curva es e ≈ 2,718 y la pendiente de la tangente también es e. Ninguna otra base b^x tiene esta propiedad.
Jacob Bernoulli descubrió e en 1683 mientras estudiaba el interés compuesto. Euler lo llamó e en 1731. Es irracional (Euler, 1737) y trascendental (Hermite, 1873). Su expansión decimal 2,71828182845904523536… nunca se repite.
Comenzando con $1 al 100% de interés anual: capitalización mensual da $2,613, diaria $2,714, cada segundo $2,718. El límite cuando n→∞ es exactamente e.
e (el número de Euler) es aproximadamente 2,71828182845904523536. Es el único número donde la función e^x iguala su propia derivada en cada punto. Jacob Bernoulli lo descubrió en 1683 estudiando el interés compuesto. Leonhard Euler lo llamó e alrededor de 1731. e es irracional (Euler, 1737) y trascendental (Hermite, 1873). Aparece en crecimiento y decaimiento continuo, logaritmos naturales, la distribución normal, interés compuesto, desintegración radiactiva y la identidad de Euler e^(i*pi) + 1 = 0.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
Pi
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