Gelfond's constante is e verheven naar de macht π. De benaderde waarde is 23.14069263277927… Het bewijzen van het transcendent was Hilbert's 7 th probleem, stelde in 1900 als één de 23 meeste belangrijke onopgeloste vragen voor de 20 th eeuw. Alexander Gelfond loste het op in 1934.
e^π ligt verleidelijk dicht bij 23 maar mist met 0,14. Ook de toevalligheid e^π − π ≈ 19,999 is waarschijnlijk betekenisloos.
De stelling van Gelfond-Schneider (1934) states: als een is algebraïsch, niet 0 of 1, en b is algebraïsch en irrationaal, dan een^b is transcendent. Gelfond's constante e^π=(e^(i π))^(−i)=(−1)^(−i). Here een=−1 (algebraïsch) en b=−i (algebraïsch en irrationaal). De stelling applies direct.
Tabel met voorbeelden van getallen die door Gelfond-Schneider als transcendent zijn bewezen.
| Ausdruck | a | b | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzendent |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzendent |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzendent |
De numerical dicht bij-miss e^π−π ≈ 19. 9990999 heeft geen bekend mathematical explanation. Het is likely een toeval, maar similar coincidences (zoals Ramanujan's constante) sometimes turn out naar hebben diepe redenen. e^π heeft been berekend naar millions decimale places: 23. 14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Dit volgt uit het feit dat x^(1/x) zijn maximum heeft bij x=e.
Gelfond's constante e^pi ≈ 23. 14069. Het bewijzen van het transcendent was Hilbert's 7 th probleem (1900). Gelfond loste het op in 1934: als een is algebraïsch (niet 0 of 1) en b is algebraïsch en irrationaal, dan een^b is transcendent. Since e^pi=(-1)^(-i), en-1 en-i zijn algebraïsch met-i irrationaal, de stelling applies. De dicht bij-toeval e^pi-pi ≈ 19. 999 heeft geen bekend mathematical explanation.
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.