Christoffer De Geer 2026年3月20日

ゲルフォント定数とは？

e^π ≈ 23.14069263277927

超越数。1934 年にアレクサンドル・ゲルフォントが証明。e^π = (−1)^(−i)。

ゲルフォント定数は e を π 乗した数で、その値は 23.14069263277927… である。これが超越数であることを証明する問題は、1900 年にヒルベルトが提示した第 7 問題の中心例だった。アレクサンドル・ゲルフォントは 1934 年にそれを解決した。

ゲルフォント定数は 23 にかなり近い

e^π は 23 にかなり近いが、0.14 だけずれている。e^π − π ≈ 19.999 という近さも、現時点では意味のない偶然とみなされている。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理は、a が 0 と 1 でない代数的数、b が代数的かつ無理数なら、a^b は超越数であると述べる。e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i) だから、a = −1、b = −i と見ればこの定理を適用できる。

ゲルフォント＝シュナイダー定理が超越数と判定する例

e^π − π ≈ 19.9990999 という数値的な近さには、いまのところ数学的説明は知られていない。偶然とみなされることが多いが、ラマヌジャン定数のように、一見偶然に見える近似が深い意味をもつ場合もある。e^π は非常に多くの桁まで計算されている。

e^π と π^e、どちらが大きいか？

e^π > π^e。関数 x^(1/x) は x=e で最大になるため、e^(1/e) > π^(1/π) から e^π > π^e が従う。

Pi

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