O que é a Constante de Gelfond?
A constante de Gelfond é e elevado à potência π. O seu valor aproximado é 23,14069263277927… Provar que é transcendente correspondia ao 7.º problema de Hilbert, proposto em 1900 como uma das 23 questões em aberto mais importantes do século XX. Alexander Gelfond resolveu-o em 1934.
e^π fica tentadoramente perto de 23, mas falha por 0,14. A coincidência e^π - π ≈ 19,999 é ainda mais próxima, mas igualmente sem significado conhecido.
O teorema de Gelfond-Schneider (1934) afirma: se a é algébrico, diferente de 0 e 1, e b é algébrico e irracional, então a^b é transcendente. A constante de Gelfond satisfaz e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Aqui a = −1 (algébrico) e b = −i (algébrico e irracional). O teorema aplica-se diretamente.
| Ausdruck | a | b | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzendent |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzendent |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzendent |
A quase coincidência numérica e^π − π ≈ 19,9990999 não tem explicação matemática conhecida. Provavelmente é uma coincidência, mas coincidências semelhantes (como a constante de Ramanujan) por vezes acabam por ter razões profundas. e^π foi calculado a milhões de casas decimais: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Isto pode ser provado sem calculadora: a função x^(1/x) tem máximo em x=e, logo e^(1/e) > π^(1/π), o que implica e^π > π^e.
A constante de Gelfond e^pi ≈ 23,14069. Provar que é transcendente era o 7.º problema de Hilbert (1900). Gelfond resolveu-o em 1934: se a é algébrico (diferente de 0 e 1) e b é algébrico e irracional, então a^b é transcendente. Como e^pi = (-1)^(-i), e -1 e -i são algébricos com -i irracional, o teorema aplica-se. A quase coincidência e^pi - pi ≈ 19,999 não tem explicação matemática conhecida.
Pi
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