φ (ฟี) คือคำตอบบวกของสมการ x² = x + 1 สมการนี้มีความหมายทางเรขาคณิต: ถ้าคุณแบ่งเส้นตรงหนึ่งเส้นให้สัดส่วนของทั้งเส้นต่อส่วนที่ยาวกว่า เท่ากับสัดส่วนของส่วนที่ยาวกว่าต่อส่วนที่สั้นกว่า อัตราส่วนนั้นคือ φ ไม่มีจำนวนอื่นที่มีสมบัติคล้ายตัวเองเช่นนี้.
ตารางอัตราส่วนของฟีโบนัชชีที่ลู่เข้าไปหา ฟี
| คู่ฟีโบนัชชี | อัตราส่วน | ระยะห่างจาก φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
อัตราส่วนทองคำปรากฏในรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าและเพนตาแกรม ซึ่งเส้นทแยงมุมตัดกันตามอัตราส่วนทองคำ จำนวนฟีโบนัชชีแต่ละจำนวนเมื่อหารด้วยจำนวนก่อนหน้าจะเข้าใกล้ φ เศษส่วนต่อเนื่อง [1; 1, 1, 1, …] เป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ที่ง่ายที่สุด: มีแต่เลข 1 ทั้งหมด สิ่งนี้ทำให้ φ เป็นจำนวนจริงที่ประมาณด้วยเศษส่วนได้ยากที่สุด จึงได้รับฉายาว่า “จำนวนที่อตรรกยะที่สุด”.
ตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ส่วนที่เหลือจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำอีกอันหนึ่งที่เล็กลงด้วยตัวคูณ 1/φ ทำซ้ำได้ไม่รู้จบ ส่วนโค้งนี้จึงลากเป็นเกลียวทองคำที่มักเห็นในเปลือกหอยและกาแล็กซี.
φ ทำให้ φ² = φ + 1 ดังนั้น φ = 1 + 1/φ เมื่อนำไปแทนซ้ำ ๆ จะได้ φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ที่มีแต่เลข 1 นี้เป็นทั้งนิยามและสาเหตุของสถานะ “อตรรกยะที่สุด” ของมัน เมื่อคำนวณอย่างละเอียดเต็มที่แล้วได้ 1.61803398874989484820…
ในห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 1 ทุกเส้นทแยงมุมจะยาว φ ≈ 1.618 เส้นทแยงมุมยังแบ่งกันเองตามอัตราส่วนทองคำด้วย เมื่อลากเส้นทแยงมุมทั้งห้าเส้น คุณจะได้เพนตาแกรมซึ่งเต็มไปด้วยสัดส่วนทองคำเช่นกัน.
อัตราส่วนทองคำ φ มีค่าประมาณ 1.61803398874989484820 เป็นคำตอบบวกของสมการ x² = x + 1 มันเป็นจำนวนอตรรกยะ เป็นจำนวนพีชคณิต และเป็นลิมิตของอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่อยู่ติดกัน มันปรากฏในห้าเหลี่ยมด้านเท่าและไอโคซาเฮดรอน ในลายเกลียวของเมล็ดทานตะวัน และในสัดส่วนที่มีการศึกษามาตั้งแต่กรีกโบราณ เศษส่วนต่อเนื่อง [1; 1, 1, 1, ...] ของมันทำให้มันเป็นจำนวนจริงที่ประมาณด้วยเศษส่วนได้ยากที่สุด นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมรูปแบบการเรียงใบของพืชจึงใช้องศาทองคำที่ได้มาจาก ฟี.
อัตราส่วนทองคำ φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the สูตรกำลังสอง.