Startując od x=0,5 i wielokrotnie stosując e^(−x), otrzymujemy zbieżność do Ω ≈ 0,5671. Punkt stały spełnia Ω = e^(−Ω), równoważnie Ω·e^Ω = 1.
| Iteracja | x | e^(−x) | |x − Ω| |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,5 | 0,60653 | 0,067 |
| 2 | 0,60653 | 0,54545 | 0,022 |
| 3 | 0,54545 | 0,57970 | 0,008 |
| 4 | 0,57970 | 0,56007 | 0,003 |
| 5 | 0,56007 | 0,57121 | 0,001 |
| … | … | … | → 0 |
| ∞ | Ω | Ω | 0 |
Omegę można obliczać metodą Newtona zastosowaną do f(x) = x*e^x - 1 albo prostą iteracją Omega(n+1) = e^(-Omega_n), która zbiega z dowolnego dodatniego punktu startowego. Start z 1,0 daje: 0,3679, 0,6922, 0,5002, 0,6065, 0,5452, ... i zbiega do Ω ≈ 0,56714. Około 10 iteracji wystarcza do uzyskania 6 poprawnych miejsc po przecinku.
Omega spełnia nieskończoną wieżę: Omega = e^(-e^(-e^(-...))). Nieskończony stos ujemnych wykładników zbiega do Omegi. Wynika to bezpośrednio ze wzoru iteracyjnego: punkt stały odwzorowania x ↦ e^(-x) to właśnie Omega.
Stała omega spełnia Ω * e^Ω = 1, więc Ω ≈ 0,56714. Jest wartością funkcji Lamberta W w punkcie 1 i spełnia e^(-Ω) = Ω. Prosta iteracja Ω_nowe = e^(-Ω_stare) zbiega z każdego dodatniego punktu startowego. Omega jest liczbą transcendentalną. Spełnia nieskończoną wieżę Ω = e^(-e^(-e^(-...))). Pojawia się w analizie algorytmów i rozwiązaniach równań różniczkowych z opóźnieniem.
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Zagraj teraz - za darmoBez konta. Działa na każdym urządzeniu.