Что такое омега-константа?

Ω можно находить методом Ньютона для функции f(x) = x·e^x - 1 или простой итерацией Ω_(n+1) = e^(−Ω_n), которая сходится из любого положительного начального значения. Если начать с 1,0, получаются 0,3679, 0,6922, 0,5002, 0,6065, 0,5452, ... и последовательность приближается к Ω ≈ 0,56714. Примерно после десяти итераций уже есть шесть верных знаков после запятой.

Ω удовлетворяет бесконечной башне Ω = e^(−e^(−e^(−...))). То есть бесконечная вложенная экспонента с минусами сходится к Ω. Это напрямую следует из итерационного уравнения: неподвижная точка отображения x ↦ e^(−x) и есть Ω.

Омега-константа удовлетворяет уравнению Ω · e^Ω = 1 и поэтому имеет значение Ω ≈ 0,56714. Это значение функции Ламберта W в точке 1, и оно также удовлетворяет равенству e^(−Ω) = Ω. Простая итерация Ω_new = e^(−Ω_old) сходится из любого положительного начального значения. Ω трансцендентна. Она также удовлетворяет бесконечной башне Ω = e^(−e^(−e^(−...))). Константа возникает в анализе алгоритмов и в решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием.