Was ist die Omega-Konstante?

Ω lässt sich mit dem Newton-Verfahren auf f(x) = x·e^x - 1 berechnen oder mit der einfachen Iteration Ω_(n+1) = e^(−Ω_n), die von jedem positiven Startwert aus konvergiert. Startet man bei 1,0, erhält man 0,3679, 0,6922, 0,5002, 0,6065, 0,5452, ... und nähert sich Ω ≈ 0,56714. Nach ungefähr zehn Iterationen hat man bereits sechs korrekte Dezimalstellen.

Ω erfüllt den unendlichen Turm Ω = e^(−e^(−e^(−...))). Ein unendlicher Stapel negativer Exponentialterme konvergiert also gegen Ω. Das folgt direkt aus der Iterationsgleichung: Der Fixpunkt der Abbildung x ↦ e^(−x) ist genau Ω.

Die Omega-Konstante erfüllt Ω · e^Ω = 1 und hat daher den Wert Ω ≈ 0,56714. Sie ist der Wert der Lambert-W-Funktion an der Stelle 1 und erfüllt ebenso e^(−Ω) = Ω. Die einfache Iteration Ω_neu = e^(−Ω_alt) konvergiert von jedem positiven Startwert aus. Ω ist transzendent. Außerdem erfüllt sie den unendlichen Turm Ω = e^(−e^(−e^(−...))). Sie tritt in der Analyse von Algorithmen und in Lösungen verzögerter Differentialgleichungen auf.