De zilveren verhouding δₛ = 1 + √2 ≈ 2,41421 is de positieve oplossing van x² = 2x + 1. Het is het tweede lid van de familie van metallieke verhoudingen. De gulden snede voldoet aan x² = x + 1, dus allemaal enen in de kettingbreuk, terwijl de zilveren verhouding voldoet aan x² = 2x + 1 en de kettingbreuk [2; 2, 2, 2, …] heeft.
De Pell-getallen 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408… worden gedefinieerd door Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂. Hun verhoudingen convergeren naar δₛ, net zoals de verhoudingen van Fibonacci-getallen naar φ convergeren. De zilveren verhouding bestuurt de regelmatige achthoek: de verhouding van een bepaalde diagonaal tot een zijde is precies δₛ. Ze verschijnt ook in Ammann-Beenker-quasiperiodieke betegelingen.
De rode diagonaal verbindt hoekpunten met een onderlinge afstand van drie; de groene lijn is één zijde. Hun verhouding is precies 1 + √2 ≈ 2,414, de zilveren verhouding. Dit is het achthoekige analogon van de gulden diagonaal in een vijfhoek.
De zilveren verhouding heeft zelfgelijkheid: δₛ = 2 + 1/δₛ = 2 + 1/(2 + 1/(2 + ⋯)). Haal je twee eenheidsvierkanten weg uit een δₛ × 1-rechthoek, dan blijft een kleinere rechthoek met dezelfde verhoudingen over. De A-papierreeks gebruikt √2, dus δₛ - 1, zodat bij halveren de beeldverhouding behouden blijft. Waarde: 2,41421356237309504880168872…
A0, A1, A2… elk vel is half zo groot als het vorige. De verhouding 1:√2 is de enige die bij halveren behouden blijft. Vouw een vel met verhouding 1:√2 dubbel en je krijgt weer dezelfde verhoudingen, alleen gedraaid. Omdat √2 = δₛ - 1, is de papierreeks direct met de zilveren verhouding verbonden.
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.