रजत अनुपात क्या है?
रजत अनुपात δₛ = 1 + √2 ≈ 2.41421, x² = 2x + 1 का धनात्मक हल है। यह metallic means परिवार का दूसरा सदस्य है: स्वर्ण अनुपात x² = x + 1 को संतुष्ट करता है (सतत भिन्न में सभी 1), और रजत अनुपात x² = 2x + 1 को (सतत भिन्न [2; 2, 2, 2, …] में सभी 2)।
Pell संख्याएँ 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408… को Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂ द्वारा परिभाषित किया जाता है। इनके अनुपात δₛ की ओर अभिसरित होते हैं, जैसे फिबोनाची अनुपात φ की ओर जाते हैं। रजत अनुपात नियमित अष्टभुज को नियंत्रित करता है: उसके विकर्ण और भुजा का अनुपात δₛ होता है। यह Ammann-Beenker quasi-periodic tilings में भी दिखाई देता है।
The red diagonal connects vertices 3 apart (skipping 2). The green side is one edge. Their ratio is exactly 1 + √2 ≈ 2.414, the silver ratio. This is the octagon equivalent of the golden ratio diagonal in a pentagon.
रजत अनुपात में आत्म-सादृश्य है: δₛ = 2 + 1/δₛ = 2 + 1/(2 + 1/(2 + ⋯))। δₛ × 1 आयत से दो इकाई वर्ग हटाने पर उसी अनुपात वाला एक छोटा आयत बचता है। A-paper श्रृंखला √2 (जो δₛ - 1 है) का उपयोग करती है, ताकि कागज़ को आधा करने पर उसका अनुपात वही बना रहे। मान: 2.41421356237309504880168872…
A0, A1, A2… each sheet is half the previous. The ratio 1:√2 is the only ratio that survives halving. Fold a 1:√2 sheet: you get a √2:1 sheet, the same proportions rotated. √2 = δₛ - 1, linking the paper series directly to the silver ratio.
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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