Asal Sayı Teoremi nedir?
n'e kadar olan asalların sayısı için π(n) yazın. Asal Sayı Teoremi, π(n)'nin n/ln(n) gibi büyüdüğünü söyler. n büyüdükçe, n'e yakın her ln(n) sayıdan yaklaşık 1'i asaldır. Bir milyona yakın, kabaca 14 sayıdan 1'i asaldır. Bir milyara yakın, 21'de 1.
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) – the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Gauss, asal tablolarını inceledikten sonra sonucu 1800 dolaylarında öne sürdü. 1896'da Jacques Hadamard ve Charles-Jean de la Vallée Poussin tarafından, her ikisi de Riemann zeta fonksiyonunu ve karmaşık analizi kullanarak bağımsız olarak kanıtlandı. Tamamen temel bir kanıt (karmaşık analiz olmadan) 1948'de Selberg ve Erdős tarafından bağımsız olarak bulundu.
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
Riemann Hipotezi, hata üzerinde en keskin sınırı verirdi: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). O olmadan, yalnızca hatanın o(n/ln(n)) olduğunu biliyoruz. Bu yüzden Riemann Hipotezi matematiğin en önemli açık problemidir: asal aralıklarının tam olarak ne kadar öngörülebilir olduğunu bize söylerdi.
pi(n)'ye n/ln(n)'den daha doğru bir yaklaşım, logaritmik integral Li(n) = 2'den n'e dt/ln(t) integralidir. Gauss bu formu tercih etti. n = 1.000.000 için: n/ln(n) 72.382 verirken Li(n) 78.628 verir; tam sayıma karşılık ise 78.498. Li(n)'nin hatası çok daha küçüktür. Riemann Hipotezi bu hatayı tam olarak sqrt(n) * ln(n)'de sınırlardı.
Pi
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Şimdi oyna - ücretsizHesap gerekmez. Her cihazda çalışır.
