Christoffer De Geer 20 Mart 2026

Meissel-Mertens Sabiti nedir?

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0.26149721284764278375. Meissel ve Mertens, 1874.

n'e kadar olan tüm asalların terslerini toplayın: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Bu büyür, ama olağanüstü yavaş: ln(ln(n)) gibi. Meissel-Mertens sabiti M, bu toplam ile baskın terimi arasındaki tam farktır; tıpkı Euler-Mascheroni sabiti γ'nın harmonik seri ile ln(n) arasındaki fark olması gibi.

Prime reciprocal sum grows like ln(ln(n)) + M

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ – prime reciprocals grow far slower.

Euler 1737'de tüm asal terslerinin toplamının ıraksadığını kanıtladı. Bu, sonsuz sayıda asal olduğunu kanıtlamaktan çok daha zordur ve asalların ne kadar yoğun olduğuna dair niceliksel bir his verir. Mertens'in teoremi ardından Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n) der ve M'yi tam sabit terim olarak verir.

M vs γ: two gap constants

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0.5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615
All integers	Primes only

M ve γ, M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p) ile ilişkilidir. Her iki sabitin de irrasyonel olup olmadığı bilinmiyor. İkisi de milyarlarca ondalık basamağa kadar hesaplandı ve transandantal olduğuna inanılıyor ama hiçbiri için bir kanıt yok. M: 0.261497212847642783755426838608669…

Euler-Mascheroni Sabiti → Asal Sayılar → Asal Sayı Teoremi → Harmonik Seri →

Harmonic sum vs prime reciprocal sum: both diverge, at very different rates

Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.

Euler-Mascheroni sabitiyle benzerlik

Euler-Mascheroni sabiti gama, harmonik seri (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) ile ln(n) arasındaki farkı ölçer. Meissel-Mertens sabiti M, asal terslerinin toplamı (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) ile ln(ln(n)) için aynı rolü oynar. Her ikisi de logaritmik olarak büyüyen ıraksak seriler için "hata düzeltme" sabitleridir.

Meissel-Mertens Sabiti hakkında temel bilgiler

Meissel-Mertens sabiti M ≈ 0,26149, asal tersleri için Euler-Mascheroni sabitinin harmonik seri için oynadığı rolün aynısını oynar. Mertens 1874'te 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + küçük hata olduğunu kanıtladı. M'nin irrasyonel olup olmadığı bilinmiyor. Asal çarpımları üzerine Mertens teoreminde ve pürüzsüz sayıların yoğunluğunda görünür. M ve gama, tüm asallar üzerinde belirli bir toplamla ilişkilidir.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Asal sayıların terslerinin toplamı ne kadar hızlı büyür?

tap · space

1 / 10

Oynamaya hazır mısınız?

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Şimdi oyna - ücretsiz

Hesap gerekmez. Her cihazda çalışır.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.