Τι είναι η σταθερά Euler-Mascheroni (γ);
Η αρμονική σειρά 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ αποκλίνει, αλλά αυξάνεται απίστευτα αργά. Μετά από ένα εκατομμύριο όρους μόλις φτάνει το 14. Ο φυσικός λογάριθμος ln(n) αυξάνεται με τον ίδιο ρυθμό. Η σταθερά Euler-Mascheroni γ είναι το ακριβές χάσμα μεταξύ τους: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n προς ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
Η γ εμφανίζεται σε όλη την ανάλυση και τη θεωρία αριθμών. Συνδέει την αρμονική σειρά με τη συνάρτηση ζήτα του Riemann: γ = -ζ'(1) με μια τυπική έννοια. Εμφανίζεται στη συνάρτηση Γάμμα Γ'(1) = -γ, στην κατανομή των κενών μεταξύ πρώτων, στις συναρτήσεις Bessel, και στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα της διγάμμα συνάρτησης.
Το αν η γ είναι ρητή ή άρρητη είναι ένα από τα παλαιότερα ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά. Σχεδόν κάθε μαθηματικός πιστεύει ότι είναι υπερβατική, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη. Έχει υπολογιστεί σε πάνω από 600 δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) προς γ.
Η σταθερά Euler-Mascheroni gamma είναι περίπου 0.57721566490153286060. Το αν είναι ρητή ή άρρητη είναι άγνωστο, ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά. Ο Euler την δημοσίευσε πρώτος το 1734· ο Mascheroni την υπολόγισε ανεξάρτητα το 1790. Η gamma εμφανίζεται στη συνάρτηση Γάμμα, στη συνάρτηση ζήτα του Riemann, στο θεώρημα του Mertens για τα γινόμενα πρώτων, στις συναρτήσεις Bessel, και στην κατανομή των κενών μεταξύ πρώτων. Καθώς δεν υπάρχει αλγόριθμος ροής, τα ψηφία της είναι προϋπολογισμένα και αποθηκευμένα.
Σταθερά Euler-Mascheroni γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the όριο αρμονικής-λογαρίθμου.
Pi
Απομνημονεύστε το π, το e και 38 μαθηματικές σταθερές με τη μέθοδο διαδρομής στο αριθμητικό πληκτρολόγιο
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.