Christoffer De Geer 20 Mart 2026

Basel Problemi nedir?

1 + 1/4 + 1/9 + ⋯ = π²/6

Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1.64493. Euler, 1734.

Basel problemi şunu sorar: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯'nin tam değeri nedir? Seri yakınsar, ama neye? Pietro Mengoli bunu 1650'de ortaya attı. 84 yıl boyunca her matematikçiyi şaşırttı; ta ki Euler 28 yaşında, 1734'te çözene kadar.

Partial sums of 1+1/4+1/9+... converging to π²/6

Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.

Euler'in kanıtı, sin(x)/x için Taylor serisini kökleri ±π, ±2π, ±3π… üzerinde sonsuz bir çarpım olarak çarpanlara ayırdı. Çarpım formunun x² katsayısını Taylor katsayısıyla karşılaştırmak doğrudan Σ 1/n² = π²/6 verir. Bu, matematiğin en ünlü hesaplamalarından biridir ve π'nin burada görünmesi tesadüf değildir: çemberler ve küreler, Riemann zeta fonksiyonu aracılığıyla tam sayı toplamlarıyla doğal bağlantılara sahiptir.

The first eight terms of the Basel series: 1/n^2

Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.

Sonuç genelleşir: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945 ve tüm çift zeta değerleri π'nin kuvvetlerinin rasyonel katlarıdır. Tek değerler ζ(3), ζ(5), ζ(7)… çok daha gizemlidir. Apéry, ζ(3)'ün irrasyonel olduğunu 1978'de kanıtladı ama π cinsinden hiçbir kapalı form bilinmiyor.

Riemann Zeta Fonksiyonu → Apéry Sabiti → Pi (π) → Wallis Çarpımı → Harmonik Seri →

Euler's proof idea: sin(x)/x as an infinite product

sin(x)/x = (1−x²/π²)(1−x²/4π²)(1−x²/9π²)…

Comparing x² coefficient: −1/π² − 1/4π² − 1/9π² − … = −1/6

Therefore 1/1² + 1/2² + 1/3² + … = π²/6 ∎

Şaşırtıcı bir olasılık

Rastgele seçilen iki tam sayının ortak çarpanı paylaşmama (aralarında asal olma) olasılığı tam olarak 6/pi^2'dir, yani pi^2/6'nın tersi. Bu yaklaşık %60,8'dir. Basel problemini doğrudan sayılar teorisine ve olasılığa bağlar.

İlgili konular

Pi Riemann Zeta Apery

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Riemann zeta fonksiyonunun çift değerleri nedir?

tap · space

1 / 10

Oynamaya hazır mısınız?

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Şimdi oyna - ücretsiz

Hesap gerekmez. Her cihazda çalışır.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.