Christoffer De Geer 20 Mart 2026

Wallis Çarpımı nedir?

π/2 = ∏ 4n²/(4n²-1)

π = 2 · (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) ⋯ Wallis, 1655.

Wallis çarpımı, π/2'yi basit kesirlerin sonsuz bir çarpımı olarak yazar: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Her çift sayı iki kez görünür, bir kez komşularından büyük, bir kez küçük. Yeterince terim çarpın ve çarpım π/2 ≈ 1,5708'e yakınsasın.

Wallis partial products approaching π/2

Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.

John Wallis bu formülü 1655'te ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx integralinden, çift ve tek n durumlarını karşılaştırarak türetti. Onu dikkat çekici kılan şey, π'yi hiçbir geometri olmadan rasyonel sayıların saf çarpımından türetmesidir. Aynı çarpım Gama fonksiyonu özdeşliğinden de doğar: π = Γ(1/2)².

The Wallis product: alternating even fractions

π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·…

= Π_{n=1}^∞ (4n²)/(4n²−1)

Wallis derived this in 1655 by comparing integrals of powers of sin(x). It was the first product formula for π.

Wallis çarpımı çok yavaş yakınsar: n çiftten sonra hata 1/(4n) mertebesindedir. İncelenen ilk sonsuz çarpımlardan biri olarak muazzam teorik öneme sahiptir; sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) analizine ve karmaşık analizdeki tüm sonsuz çarpımlar teorisine giden yolu açar.

Pi (π) → Gauss İntegrali → Basel Problemi → Taylor Serisi → Kalkülüsün Temel Teoremi →

Integrals of sin^n(x) from 0 to π/2: even/odd pattern produces Wallis

Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.

İlgili konular

Pi Kalkülüsün Temel Teoremi Taylor Serisi

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

π'yi veren başka bir sonsuz çarpım ya da seri adı veriniz.

tap · space

1 / 10

Oynamaya hazır mısınız?

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Şimdi oyna - ücretsiz

Hesap gerekmez. Her cihazda çalışır.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.