Apéry Sabiti nedir?
ζ(3), Riemann zeta fonksiyonunun 3'teki değeridir: tüm pozitif tam sayılar üzerinde 1/n³'ün toplamı. Çift girdiler için Euler güzel kapalı formlar buldu: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Tek girdiler için böyle bir formül yoktur. ζ(3)'ün π'yi hiç içerip içermediği bilinmiyor.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
1978'de Roger Apéry, ζ(3)'ün irrasyonel olduğuna dair bir kanıt duyurdu. Dinleyiciler kuşkuluydu. Henri Cohen ve diğer matematikçiler bir gecede bilgisayarlarda kontrol etmek için evlerine koştular. Ertesi sabaha kadar doğru olduğunu onayladılar. Katılımcılardan biri "Açık bir gökyüzünde gök gürültüsü gibiydi" dedi. Apéry 64 yaşındaydı.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
ζ(3)'ün π cinsinden ifade edilip edilemeyeceği başlıca açık sorudur. Tüm çift zeta değerleri, π'nin karşılık gelen kuvvetinin rasyonel katlarıdır. Tek zeta değerleri farklı bir dünyada yaşıyor gibi görünür. Sonsuz sayıda tek değer ζ(2n+1)'in irrasyonel olduğu biliniyor (Rivoal, 2000) ama tam örüntü gizemli kalıyor. Tam değer: 1.20205690315959428539973816151144999…
Tüm çift k için ζ(2k) = rasyonel sayı × π^(2k). Euler bunu tüm çift değerler için kanıtladı. Ama ζ(3), ζ(5), ζ(7)... tamamen farklıdır. ζ(3) irrasyoneldir (Apéry) ama π ile hiçbir ilişki bilinmiyor. Gerçekten π'den bağımsız olabilir.
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Bilinmiyor. Roger Apéry 1978'de zeta(3)'ün irrasyonel olduğunu kanıtladı ama transandantal olup olmadığı açık bir problem olarak kalıyor. Transandantal olduğuna yaygın olarak inanılıyor ama bir kanıt yok.
Kuantum elektrodinamiğinde (elektronun manyetik momentine düzeltmeler), rastgele matris teorisinde ve iki boyutlu bir Ising modelinin entropisinde. İstatistiksel mekanikte Fermi-Dirac ve Bose-Einstein dağılımlarında görünür.
Ramanujan, zeta(3) için 7pi^3/180 içeren bir formül ve üstel ifadeler üzerinde toplamlar da dâhil olmak üzere hızla yakınsayan seriler buldu. Defterleri zeta(3) ile ilgili düzinelerce özdeşlik içeriyordu, çoğu ölümünden onlarca yıl sonra kanıtlandı.
Apéry'nin irrasyonellik kanıtında görünen, k üzerinde C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 toplamı olan A(n) tam sayıları. İlk birkaçı 1, 5, 73, 1445, 33001'dir. Bir yineleme bağıntısını sağlarlar ve 1/n^3'ün kısmi toplamlarının paydalarını belirli çarpanları sadeleştirmeye zorlayan bir şekilde büyürler; bu da limiti irrasyonel yapar.
Apéry sabiti zeta(3), 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1,20205690315959 toplamıdır. Çift s değerleri için Euler pi içeren kapalı formlar buldu: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Tek değerler için böyle bir formül bilinmiyor. Roger Apéry, zeta(3)'ün irrasyonel olduğunu 1978'de, 64 yaşında kanıtladı. Transandantal olup olmadığı ya da pi cinsinden ifade edilip edilemeyeceği bilinmiyor.
Pi
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Şimdi oyna - ücretsizHesap gerekmez. Her cihazda çalışır.
