Sürekli Kesirler
Bir sürekli kesir, bir sayıyı bir tam sayı artı başka bir sürekli kesrin tersi olarak ifade eder. Her gerçel sayının benzersiz bir sürekli kesir açılımı vardır. Rasyonel sayılar sonludur; kuadratik irrasyoneller periyodik olarak tekrarlar; pi gibi transandantallerin bir örüntüsü yoktur. Yakınsaklar (kesme yoluyla oluşturulan rasyonel yaklaşımlar), o boyuttaki paydaya sahip herhangi bir rasyonelin kanıtlanabilir biçimde en iyi yaklaşımlarıdır.
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence |
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.
Her gerçel sayının benzersiz bir sürekli kesir açılımı vardır. Rasyonel sayıların sonlu açılımları vardır. Kuadratik irrasyoneller (sqrt(2) ve phi gibi) eninde sonunda periyodik açılımlara sahiptir. pi gibi transandantallerin bir örüntüsü yoktur. Bir sürekli kesrin yakınsakları en iyi rasyonel yaklaşımlardır: 22/7 ve 355/113, pi'nin yakınsaklarıdır ve ona sırasıyla 2 ve 6 ondalık basamağa kadar uyar. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] yaklaşılması en zor sayıdır ve bu da onu kesin bir anlamda en irrasyonel yapar.
Pi
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Şimdi oyna - ücretsizHesap gerekmez. Her cihazda çalışır.
