Christoffer De Geer 21 Maret 2026

Apa itu Pecahan Berlanjut?

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

ditulis sebagai [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

Pecahan berlanjut menyatakan sebuah bilangan sebagai sebuah bilangan bulat ditambah kebalikan dari pecahan berlanjut lainnya. Setiap bilangan real memiliki ekspansi pecahan berlanjut yang unik. Bilangan rasional berakhir; irasional kuadrat berulang secara periodik; bilangan transendental seperti π tidak memiliki pola. Konvergen-konvergennya (aproksimasi rasional yang dibentuk dengan memotong ekspansi) terbukti merupakan aproksimasi terbaik di antara semua pecahan dengan penyebut sebesar itu.

Pecahan berlanjut terkenal dibandingkan: periodik = irasional kuadrat

Famous continued fractions compared: periodic = quadratic irrational

Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
KONSTANTE	KB-NOTATION	TYP
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	periodisch
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	periodisch
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	periodisch
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	Muster
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	kein Muster
Satz: Ein Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn die Zahl quadratisch irasional ist (Lagrange, 1770)
phi ist am schwersten zu approximieren: sein Kettenbruch aus lauter Einsen liefert die langsamste mögliche Konvergenz

Convergents of pi: best rational approximations

Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
KONVERGENT	DEZIMAL	FEHLER
3/1	3,000000	0,14159
22/7	3,142857	0,00126
333/106	3,141509	0,000083
355/113	3,141592…	0,0000003
103993/33102	3,14159265…	2,7e−10
355/113 ist mit einem nur dreistelligen Nenner auf 6 Dezimalstellen korrekt

Successive convergents of π alternate above and below

Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.

Golden Ratio φ → Square Root of 2 → Khinchin's Constant → Lévy's Constant → Euler's Number e →

Topik terkait

Phi Sqrt2 Khinchin

Fakta singkat tentang Pecahan Berlanjut

Setiap bilangan real memiliki ekspansi pecahan berlanjut yang unik. Bilangan rasional memiliki ekspansi berhingga. Irasional kuadrat (seperti sqrt(2) dan phi) memiliki ekspansi yang akhirnya periodik. Bilangan transendental seperti pi tidak memiliki pola. Konvergen-konvergen dari pecahan berlanjut adalah aproksimasi rasional terbaik: 22/7 dan 355/113 adalah konvergen dari pi dan mendekati pi hingga 2 dan 6 tempat desimal. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] adalah bilangan yang paling sulit didekati secara rasional dalam arti yang tepat.

Digunakan dalam

∑Matematika

✓

⚛Fisika

–

⚙Teknik

–

🧬Biologi

–

💻Ilmu Komputer

✓

📊Statistika

–

📈Keuangan

–

🎨Seni

–

🏛Arsitektur

–

♪Musik

✓

🔐Kriptografi

–

🌌Astronomi

✓

⚗Kimia

–

🦉Filsafat

–

🗺Geografi

–

🌿Ekologi

–

Ingin menguji pengetahuan Anda?

Pertanyaan

Apa itu aproksimasi rasional terbaik?

ketuk · spasi

1 / 10

Siap bermain?

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Main sekarang - gratis

Tanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.