Christoffer De Geer 2026年3月21日

连分数

pi = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))

写作 [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

连分数把一个数写成“整数 + 另一个连分数的倒数”的形式。每个实数都有唯一的连分数展开。有理数的展开会终止，二次无理数会变成周期性的，而像 π 这样的超越数则看不出模式。通过截断得到的渐近分数，也就是有理近似，已被证明是在该分母规模下的最佳近似。

著名连分数比较：周期性 = 二次无理数

比较 φ、sqrt2、e 和 π 的连分数，展示哪些是周期的、哪些是不规则的表格。
常数	连分数记号	类型
phi	[1; 1, 1, 1, 1, ...]	周期
sqrt(2)	[1; 2, 2, 2, 2, ...]	周期
sqrt(3)	[1; 1, 2, 1, 2, ...]	周期
e	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...]	有模式
pi	[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...]	无模式
定理：一个连分数当且仅当对应的数是二次无理数时，才会是周期的（Lagrange，1770）
φ 是最难逼近的数：它的连分数全由 1 组成，因此收敛速度达到可能的最慢。

π 的渐近分数：最佳有理逼近

π 的连续渐近分数在 π 的上下方交替出现

渐近分数 3、22/7、333/106、355/113 和 103993/33102 会在 π 的上方和下方交替出现。每一个都是在该分母或更小分母范围内的最佳有理近似。

Pi

用数字键盘路径记忆法背下圆周率、e和38个数学常数

无需账户，适用于任何设备。

Topic roundups