Что такое константа Мейсселя - Мертенса?
Сложим обратные ко всем простым числам до n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Эта сумма растёт, но чрезвычайно медленно - как ln(ln(n)). Константа Мейсселя - Мертенса M - это точный разрыв между этой суммой и её главным членом, так же как константа Эйлера - Маскерони γ измеряет разрыв между гармоническим рядом и ln(n).
Эйлер в 1737 году доказал, что сумма обратных ко всем простым расходится. Это заметно труднее, чем просто показать бесконечность простых, и даёт количественное представление о плотности простых чисел. Теорема Мертенса затем утверждает: Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), так что M - точный постоянный член этой асимптотики.
| Эйлер - Маскерони γ | Мейссель - Мертенс M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) в 0,5772 | Σ 1/p − ln(ln n) в 0,2615 |
| все целые числа | только прост ые числа |
M и γ связаны формулой M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Неизвестно, иррациональна ли хотя бы одна из этих двух констант. Обе вычислены до миллиардов знаков, и обе считаются, вероятно, трансцендентными, но доказательств пока нет.
Гармоническая сумма достигает 2,93, 5,19, 7,49 и 9,79. Сумма обратных простых, которая растёт как ln(ln(n)) + M, в тех же точках достигает лишь 0,84, 1,18, 1,52 и 1,85.
Константа Эйлера - Маскерони γ измеряет разрыв между гармоническим рядом 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n и ln(n). Константа Мейсселя - Мертенса M играет ту же роль для суммы обратных простых и ln(ln(n)). В одном случае участвуют все целые числа, в другом - только простые. Поэтому M можно рассматривать как «просточисленную» версию γ.
Константа Мейсселя - Мертенса M ≈ 0,26149 играет для суммы обратных простых ту же роль, что константа Эйлера - Маскерони для гармонического ряда. Она задаётся как предел Σₚ≤ₙ 1/p − ln(ln(n)). Эйлер доказал, что сумма обратных простых расходится, а Мертенс уточнил скорость этой расходимости. Неизвестно, является ли M иррациональной или трансцендентной, хотя это считается вероятным.
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.