Christoffer De Geer 20 Maret 2026

Apa itu Konstanta Meissel-Mertens?

M = lim(Σₚ≤ₙ 1/p − ln ln n)

M ≈ 0.26149721284764278375. Meissel dan Mertens, 1874.

Jumlahkan kebalikan semua bilangan prima hingga n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Jumlah ini tumbuh, tetapi sangat lambat: seperti ln(ln(n)). Konstanta Meissel-Mertens M adalah selisih tepat antara jumlah ini dan suku dominannya, sebagaimana konstanta Euler-Mascheroni γ adalah selisih antara deret harmonik dan ln(n).

Jumlah kebalikan bilangan prima tumbuh seperti ln(ln(n)) + M

Σ_{p≤n} 1/p ≈ ln(ln(n)) + M

M ≈ 0.2615 (Meissel-Mertens constant)

At n=10: ≈ 0.84 n=100: ≈ 1.18 n=1000: ≈ 1.52 n=10^10: ≈ 2.30

Compared to harmonic sum Σ 1/n ≈ ln(n) + γ – prime reciprocals grow far slower.

Euler membuktikan pada tahun 1737 bahwa jumlah semua kebalikan bilangan prima divergen. Ini jauh lebih sulit daripada membuktikan bahwa jumlah bilangan prima tak berhingga, dan memberi gambaran kuantitatif tentang kerapatan bilangan prima. Teorema Mertens kemudian menyatakan Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), sehingga M muncul sebagai suku konstan yang tepat.

M vs γ: dua konstanta selisih

Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
Euler-Mascheroni γ	Meissel-Mertens M
Σ 1/n − ln(n) → 0,5772	Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615
alle ganzen Zahlen	nur Primzahlen

M dan γ berhubungan melalui M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Apakah salah satu dari kedua konstanta ini irasional masih belum diketahui. Keduanya telah dihitung hingga miliaran digit desimal dan diduga transendental, tetapi belum ada bukti untuk keduanya. M: 0.261497212847642783755426838608669…

Euler-Mascheroni Constant → Prime Numbers → Prime Number Theorem → Harmonic Series →

Jumlah harmonik vs jumlah kebalikan prima: keduanya divergen, dengan laju yang sangat berbeda

Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.

Analogi dengan konstanta Euler-Mascheroni

Konstanta Euler-Mascheroni gamma mengukur selisih antara deret harmonik (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) dan ln(n). Konstanta Meissel-Mertens M memainkan peran yang sama untuk jumlah kebalikan bilangan prima (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) terhadap ln(ln(n)). Keduanya adalah konstanta "koreksi galat" untuk deret divergen yang tumbuh secara logaritmik.

Fakta kunci tentang Konstanta Meissel-Mertens

Konstanta Meissel-Mertens M ≈ 0,26149 memainkan peran yang sama untuk kebalikan bilangan prima seperti konstanta Euler-Mascheroni untuk deret harmonik. Mertens membuktikan pada tahun 1874 bahwa 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + galat kecil. Apakah M irasional masih belum diketahui. Ia muncul dalam teorema Mertens tentang hasil kali prima dan dalam kerapatan bilangan smooth. M dan gamma dihubungkan oleh suatu jumlah khusus atas semua bilangan prima.

Digunakan dalam

∑Matematika

✓

⚛Fisika

–

⚙Teknik

–

🧬Biologi

–

💻Ilmu Komputer

✓

📊Statistika

–

📈Keuangan

–

🎨Seni

–

🏛Arsitektur

–

♪Musik

–

🔐Kriptografi

–

🌌Astronomi

–

⚗Kimia

–

🦉Filsafat

–

🗺Geografi

–

🌿Ekologi

–

Ingin menguji pengetahuan Anda?

Pertanyaan

M analog dengan apa?

ketuk · spasi

1 / 10

Siap bermain?

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Main sekarang - gratis

Tanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.