Christoffer De Geer 20 Mart 2026

Stirling Yaklaşımı nedir?

n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Bağıl hata < 1/(12n). 1730'da de Moivre ve Stirling tarafından bağımsız olarak keşfedildi.

Stirling yaklaşımı, büyük n için n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ olduğunu söyler. Permütasyonları sayma hakkındaki bir formülde hem π hem e'nin görünmesi çarpıcıdır. n = 10 için hata %1'in altındadır. n = 100 için %0,1'in altındadır. Formül, n büyüdükçe sınırsızca iyileşir.

Stirling approximation: relative error rapidly → 0

The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.

Abraham de Moivre 1730'da, bir C sabiti için n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ olduğunu buldu. James Stirling aynı yıl C = √(2π) olduğunu belirledi. √(2π), Gauss integralinden doğar: Stirling, Gama fonksiyonu aracılığıyla türetilirken ∫e^(-t²)dt = √π integrali ortaya çıkar ve π'yi formüle taşır.

Stirling's formula: logarithmic form

ln(n!) ≈ n·ln(n) − n + ½·ln(2πn)

Equivalent: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ

Relative error → 0 as n → ∞. Exact for all practical purposes when n ≥ 20.

Logaritmik form fizik boyunca kullanılır: istatistiksel mekanikte Boltzmann'ın entropi formülü S = k·ln(W), devasa N (mol parçacık) için ln(N!) gerektirir. Stirling, ln(N!) ≈ N·ln(N) - N verir ve bunu ele alınabilir kılar. Tam asimptotik seri düzeltmeler ekler: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)

Euler Sayısı e → Gauss İntegrali → Taylor Serisi → Euler-Mascheroni Sabiti → Pi (π) →

log(n!) grows exactly as Stirling predicts

On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.

İlgili konular

Gama E Asal Sayı Teoremi

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

✓

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

✓

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Stirling yaklaşımını belirtin.

tap · space

1 / 10

Oynamaya hazır mısınız?

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Şimdi oyna - ücretsiz

Hesap gerekmez. Her cihazda çalışır.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.