Taylor Serisi nedir?
Taylor serisi, herhangi bir düzgün fonksiyonu sonsuz bir polinom olarak ifade eder. Her katsayı bir türevdir: n. terim, (x-a)ⁿ çarpı f⁽ⁿ⁾(a)/n!'dir. eˣ, sin(x) ve cos(x) gibi iyi davranan fonksiyonlar için seri, her yerde tam fonksiyon değerine yakınsar.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
En önemli üç Maclaurin serisi: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (her yerde yakınsar); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (her yerde yakınsar); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (her yerde yakınsar). eˣ serisinde x = iπ yerine koymak Euler'in özdeşliğini üretir.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor genel teoremi 1715'te belirtti; 0'da merkezlenen özel durum Colin Maclaurin tarafından 1742'de yaygınlaştırıldı. Her hesap makinesi ve bilgisayar, transandantal fonksiyonları değerlendirmek için Taylor serisini kullanır. n terimden sonraki hata, Lagrange kalanı ile sınırlıdır: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Taylor serisi, düzgün bir fonksiyonu sonsuz bir polinom olarak temsil eder: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Katsayılar, a merkez noktasındaki türevlerdir. Maclaurin serileri 0'da merkezlenir. Üç temel seri her yerde yakınsar: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... e^x serisinde x = i*pi yerine koymak Euler'in özdeşliğini kanıtlar. Her hesap makinesi, transandantal fonksiyonları değerlendirmek için içsel olarak Taylor serisini kullanır.
Pi
Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method
Şimdi oyna - ücretsizHesap gerekmez. Her cihazda çalışır.
