स्टर्लिंग का सन्निकटन क्या है?
स्टर्लिंग का सन्निकटन कहता है कि बड़े n के लिए n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ। क्रमचयों की गिनती से जुड़े इस सूत्र में π और e दोनों का आना बहुत उल्लेखनीय है। n = 10 पर त्रुटि 1% से कम है। n = 100 पर 0.1% से कम। n बढ़ने के साथ यह सूत्र और भी बेहतर होता जाता है।
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
अब्राहम दे मोआवर ने 1730 में पाया कि n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ किसी स्थिरांक C के लिए सत्य है। उसी वर्ष जेम्स स्टर्लिंग ने C = √(2π) पहचाना। √(2π) गाउसियन समाकल से आता है: Gamma फलन के माध्यम से स्टर्लिंग निकालते समय समाकल ∫e^(-t²)dt = √π प्रकट होता है, और π सूत्र में प्रवेश कर जाता है।
इसका लघुगणकीय रूप भौतिकी में हर जगह उपयोग होता है: सांख्यिकीय यांत्रिकी में बोल्ट्ज़मान की entropy सूत्र S = k·ln(W) को बहुत बड़े N (कणों के मोल) के लिए ln(N!) चाहिए। स्टर्लिंग देता है ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, जिससे गणना सरल हो जाती है। पूर्ण asymptotic श्रेणी सुधार जोड़ती है: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
अभी खेलें - यह मुफ़्त हैकिसी खाते की ज़रूरत नहीं। किसी भी डिवाइस पर काम करता है।