Qu'est-ce que la série de Taylor ?
La série de Taylor exprime toute fonction lisse sous forme d'un polynôme infini. Chaque coefficient est une dérivée : le n-ième terme est f⁽ⁿ⁾(a)/n! multiplié par (x-a)ⁿ. Pour les fonctions bien comportées comme eˣ, sin(x) et cos(x), la série converge vers la valeur exacte de la fonction partout.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Les trois séries de Maclaurin les plus importantes : eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (converge partout) ; sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (converge partout) ; cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (converge partout). En substituant x = iπ dans la série de eˣ, on obtient l'identité d'Euler.
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor énonça le théorème général en 1715 ; le cas particulier centré en 0 fut popularisé par Colin Maclaurin en 1742. Chaque calculatrice et ordinateur utilise les séries de Taylor pour évaluer les fonctions transcendantes. L'erreur après n termes est bornée par le reste de Lagrange : |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Une série de Taylor représente une fonction lisse comme un polynôme infini : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Les coefficients sont les dérivées au point central a. Les séries de Maclaurin sont centrées en 0. Les trois séries clés convergent partout : e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... En substituant x = i*pi dans la série de e^x, on démontre l'identité d'Euler. Chaque calculatrice utilise en interne les séries de Taylor pour évaluer les fonctions transcendantes.
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