वालिस गुणनफल क्या है?
वालिस गुणनफल π/2 को सरल भिन्नों के एक अनंत गुणनफल के रूप में लिखता है: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ हर सम संख्या दो बार आती है – एक बार अपने पड़ोसियों से बड़ी और एक बार छोटी। पर्याप्त पदों तक गुणा करने पर यह गुणनफल π/2 ≈ 1.5708 पर अभिसरित होता है।
Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.
जॉन वालिस ने 1655 में यह सूत्र ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx समाकल से, सम और विषम n के मामलों की तुलना करके निकाला। इसकी विशेष बात यह है कि यह π को केवल परिमेय संख्याओं के गुणन से प्राप्त करता है, बिना किसी ज्यामिति के। यही गुणनफल Gamma फलन की पहचान π = Γ(1/2)² से भी निकलता है।
वालिस गुणनफल बहुत धीमी गति से अभिसरित होता है: n युग्मों के बाद त्रुटि लगभग 1/(4n) के क्रम की होती है। फिर भी इसका सैद्धांतिक महत्व बहुत बड़ा है, क्योंकि यह अध्ययन किए गए शुरुआती अनंत गुणनफलों में से एक है। इसी ने sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) के विश्लेषण और समिश्र विश्लेषण में अनंत गुणनफलों के पूरे सिद्धांत का मार्ग खोला।
Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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