Volmaakte getallen

σ(n) = 2n
De som van ALLE delers, inclusief n zelf, is gelijk aan het dubbele van het getal.

Een volmaakt getal is gelijk aan de som van al zijn echte delers, dus alle delers behalve zichzelf. 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Zulke getallen zijn buitengewoon zeldzaam. Er zijn er slechts 51 bekend, allemaal even, en ze groeien astronomisch snel. Of er überhaupt een oneven volmaakt getal bestaat, is een van de oudste open problemen in de wiskunde.

De eerste vier volmaakte getallen: portretten van hun delers
6 divisors: 1, 2, 3 1 + 2 + 3 = 6 ✓ = 2^1 x (2^2-1) Mersenne prime: 3 28 divisors: 1,2,4,7,14 1+2+4+7+14=28 ✓ = 2^2 x (2^3-1) Mersenne prime: 7 496 divisors: 1,2,4,...,248 sum = 496 ✓ = 2^4 x (2^5-1) Mersenne prime: 31 8128 divisors: 1...4064 sum = 8128 ✓ = 2^6 x (2^7-1) Mersenne prime: 127
Stelling van Euclides en Euler: even volmaakte getallen ↔ Mersenne-priemgetallen
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
where 2^p − 1 is a Mersenne prime
Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.
Volmaakte getallen op logaritmische schaal: ze groeien sneller dan exponentieel
3.7637.5260.7781.4472.6953.917.526628496812833,5 …

Hier worden log10-waarden getoond. Zelfs op logaritmische schaal is elke sprong dramatisch groter. Het 51e volmaakte getal heeft meer dan 49 miljoen cijfers.

Verwante onderwerpen
Priemgetallen Modulaire rekenkunde Getallenstelsels
Kernfeiten over volmaakte getallen

Een volmaakt getal is gelijk aan de som van zijn echte delers: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclides liet zien dat 2^(p-1)·(2^p-1) volmaakt is zodra 2^p-1 priem is. Euler bewees de omkering: elk even volmaakt getal heeft precies deze vorm. Of er een oneven volmaakt getal bestaat behoort tot de oudste onopgeloste problemen. Tot nu toe is er geen enkel gevonden. Alle 51 bekende volmaakte getallen zijn even en corresponderen met de 51 bekende Mersenne-priemgetallen.

Used in
Mathematics
Physics
Engineering
🧬Biology
💻Computer Sci
📊Statistics
📈Finance
🎨Art
🏛Architecture
Music
🔐Cryptography
🌌Astronomy
Chemistry
🦉Philosophy
🗺Geography
🌿Ecology
Want to test your knowledge?
Question
Hoe houden perfecte getallen verband met GIMPS?
tap · space
1 / 10
Klaar om te spelen?
π

Pi

Memorize pi, e, and 40+ mathematical constants using the numpad path method

Nu spelen - gratis

Geen account nodig. Werkt op elk apparaat.