Números perfeitos

sigma(n) = 2n

a soma de TODOS os divisores (incluindo n) é igual ao dobro do número

Um número perfeito é igual à soma de todos os seus divisores próprios (todos os divisores exceto ele mesmo). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Eles são extraordinariamente raros: apenas 51 são conhecidos, todos pares, e crescem astronomicamente. Saber se existe algum número perfeito ímpar continua sendo um dos mais antigos problemas em aberto da matemática.

The first four perfect numbers: divisor portraits

Euclid–Euler theorem: even perfect numbers ↔ Mersenne primes

n is even perfect  ⟺  n = 2^(p−1) · (2^p − 1)

where 2^p − 1 is a Mersenne prime

Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.

Perfect numbers on a log scale: they grow faster than exponentially

Values shown as log10. Even on a log scale each jump is dramatically larger. The 51st perfect number has over 49 million digits.

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Factos essenciais sobre números perfeitos

Um número perfeito é igual à soma de seus divisores próprios: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclides mostrou que 2^(p-1)*(2^p-1) é perfeito sempre que 2^p-1 é primo. Euler provou a recíproca: todo número perfeito par tem essa forma. Se existe algum número perfeito ímpar é um dos problemas em aberto mais antigos; nenhum jamais foi encontrado. Apenas 51 números perfeitos são conhecidos, todos pares, correspondendo aos 51 primos de Mersenne conhecidos.

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Qual é o 5.° número perfeito?

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