परिपूर्ण संख्याएँ

σ(n) = 2n

सभी भाजकों का योग (n सहित) उस संख्या के दोगुने के बराबर होता है

परिपूर्ण संख्या वह होती है जो अपने सभी उचित भाजकों, यानी स्वयं को छोड़कर बाकी सभी भाजकों, के योग के बराबर हो। 6 = 1+2+3। 28 = 1+2+4+7+14। ऐसी संख्याएँ अत्यंत दुर्लभ हैं: अब तक केवल 51 ज्ञात हैं, वे सभी सम हैं, और उनका आकार खगोलीय गति से बढ़ता है। क्या कोई विषम परिपूर्ण संख्या मौजूद है, यह गणित के सबसे पुराने खुले प्रश्नों में से एक है।

The first four perfect numbers: divisor portraits

Euclid–Euler theorem: even perfect numbers ↔ Mersenne primes

n is even perfect  ⟺  n = 2^(p−1) · (2^p − 1)

where 2^p − 1 is a Mersenne prime

Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.

Perfect numbers on a log scale: they grow faster than exponentially

Values shown as log10. Even on a log scale each jump is dramatically larger. The 51st perfect number has over 49 million digits.

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संबंधित विषय

अभाज्य संख्याएँ मॉड्यूलर अंकगणित संख्या प्रणालियाँ

परिपूर्ण संख्याओं के मुख्य तथ्य

परिपूर्ण संख्या अपने उचित भाजकों के योग के बराबर होती है: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14। यूक्लिड ने दिखाया कि यदि 2^p-1 अभाज्य हो, तो 2^(p-1)*(2^p-1) परिपूर्ण होता है। ऑयलर ने इसका उल्टा भी सिद्ध किया: हर सम परिपूर्ण संख्या इसी रूप की होती है। क्या कोई विषम परिपूर्ण संख्या होती है, यह सबसे पुराने अनसुलझे प्रश्नों में से एक है; आज तक ऐसी कोई संख्या नहीं मिली। केवल 51 परिपूर्ण संख्याएँ ज्ञात हैं, और वे सभी 51 ज्ञात मर्सेन अभाज्यों से मेल खाती हैं।

उपयोग क्षेत्र

∑गणित

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⚛भौतिकी

–

⚙अभियांत्रिकी

–

🧬जीवविज्ञान

–

💻कंप्यूटर विज्ञान

✓

📊सांख्यिकी

–

📈वित्त

–

🎨कला

–

🏛वास्तुकला

–

♪संगीत

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🔐क्रिप्टोग्राफ़ी

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🌌खगोलविज्ञान

–

⚗रसायनविज्ञान

–

🦉दर्शनशास्त्र

✓

🗺भूगोल

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🌿पारिस्थितिकी

–

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