Vollkommene Zahlen

σ(n) = 2n

Die Summe ALLER Teiler, einschließlich n selbst, ist gleich dem Doppelten der Zahl.

Eine vollkommene Zahl ist gleich der Summe aller echten Teiler, also aller Teiler außer sich selbst. 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Solche Zahlen sind außerordentlich selten. Es sind nur 51 bekannt, alle gerade, und sie wachsen astronomisch schnell. Ob überhaupt eine ungerade vollkommene Zahl existiert, ist eines der ältesten offenen Probleme der Mathematik.

Die ersten vier vollkommenen Zahlen: Porträts ihrer Teiler

Satz von Euklid und Euler: gerade vollkommene Zahlen ↔ Mersenne-Primzahlen

n is even perfect  ⟺  n = 2^(p−1) · (2^p − 1)

where 2^p − 1 is a Mersenne prime

Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.

Vollkommene Zahlen auf logarithmischer Skala: sie wachsen schneller als exponentiell

Gezeigt werden log10-Werte. Selbst auf logarithmischer Skala ist jeder Sprung dramatisch größer. Die 51. vollkommene Zahl besitzt über 49 Millionen Stellen.

Primzahlen → Zahlensysteme → Modulare Arithmetik → Fibonaccizahlen →

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Kurzfakten zu vollkommenen Zahlen

Eine vollkommene Zahl ist gleich der Summe ihrer echten Teiler: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euklid zeigte, dass 2^(p-1)·(2^p-1) vollkommen ist, sobald 2^p-1 prim ist. Euler bewies die Umkehrung: Jede gerade vollkommene Zahl besitzt genau diese Form. Ob es eine ungerade vollkommene Zahl gibt, gehört zu den ältesten ungelösten Problemen. Bis heute wurde keine gefunden. Alle 51 bekannten vollkommenen Zahlen sind gerade und entsprechen den 51 bekannten Mersenne-Primzahlen.

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Was ist die 5. vollkommene Zahl?

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