Nombres parfaits

sigma(n) = 2n

la somme de TOUS les diviseurs (y compris n) vaut le double du nombre

Un nombre parfait est egal a la somme de tous ses diviseurs propres (chaque diviseur sauf lui-meme). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Ils sont extraordinairement rares : seuls 51 sont connus, tous pairs, et ils croissent de facon astronomique. L'existence d'un nombre parfait impair reste l'un des plus anciens problemes ouverts en mathematiques.

The first four perfect numbers: divisor portraits

Euclid–Euler theorem: even perfect numbers ↔ Mersenne primes

n is even perfect  ⟺  n = 2^(p−1) · (2^p − 1)

where 2^p − 1 is a Mersenne prime

Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.

Perfect numbers on a log scale: they grow faster than exponentially

Values shown as log10. Even on a log scale each jump is dramatically larger. The 51st perfect number has over 49 million digits.

Les nombres premiers → Systemes de numeration : des nombres naturels aux nombres complexes → L'arithmetique modulaire → Les nombres de Fibonacci →

Sujets connexes

Nombres premiers Arithmetique modulaire Systemes de numeration

Faits essentiels sur les nombres parfaits

Un nombre parfait est egal a la somme de ses diviseurs propres : 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclide a montre que 2^(p-1)*(2^p-1) est parfait lorsque 2^p-1 est premier. Euler a demontre la reciproque : tout nombre parfait pair a cette forme. L'existence d'un nombre parfait impair est l'un des plus anciens problemes non resolus ; aucun n'a jamais ete trouve. Seuls 51 nombres parfaits sont connus, tous pairs, correspondant aux 51 nombres premiers de Mersenne connus.

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Comment les nombres parfaits sont-ils liés au GIMPS ?

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