√2 az egységnégyzet átlójának hossza. Ha egy 1 oldalhosszúságú négyzetet teszünk az asztalra, az egyik saroktól a szemközti sarokig mért távolság pontosan √2. Ez közvetlenül a Pitagorasz-tétel következménye: 1² + 1² = (√2)².
A pitagoreusok kb. i. e. 500 körül fedezték fel, hogy √2 nem fejezhető ki p/q alakú törtként, ahol p és q egészek. Az ellentmondásos bizonyítás elegáns: tegyük fel, hogy √2 = p/q legegyszerűbb alakban. Ekkor 2q² = p², tehát p² páros, így p is páros, vagyis p = 2k. Ebből 2q² = 4k², tehát q² = 2k², így q is páros. Ez ellentmond annak, hogy p/q már legegyszerűbb alakban volt. Következésképp √2 irracionális.
Az [1; 2, 2, 2, …] lánctört konvergensei. Mindegyik tört a legjobb racionális közelítés azzal a nevezővel.
A 2 négyzetgyökének konvergensei a lánctörtből
| tört | tizedes alak | hiba |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 algebrai (kielégíti az x² = 2 egyenletet), de irracionális. A trigonometriában: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Az A-papírsorozat (A4, A3, A2…) az 1:√2 arányt használja, így egy lap félbehajtásakor ugyanaz az oldalarány marad. Teljes pontossággal: 1.41421356237309504880168872…
Minden derékszögű háromszög egyik befogója az előző átfogó, a másik 1. Az átfogók így √1, √2, √3, √4, √5… legtöbbjük irracionális. √2-t (piros) bizonyították elsőként irracionálisnak a pitagoreusok kb. i. e. 500 körül.
A 2 négyzetgyöke körülbelül 1.41421356237309504880. Ez volt az első szám, amelyről bebizonyították, hogy irracionális, az ókori görögök kb. i. e. 500 körül. Algebrai szám, mert kielégíti az x² = 2 egyenletet. Megjelenik az egységnégyzet átlójaként, az egyenletes hangolásban (minden félhang a frekvenciát a 2 tizenkettedik gyökével szorozza), az A-sorozatú papírméretekben (A4 félbehajtva A5 lesz, ugyanazzal az aránnyal), és a Pitagorasz-tételben, ha a két befogó egyenlő.
2 négyzetgyöke is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the lánctört.