Christoffer De Geer 20 Mart 2026

Erdos-Borwein Sabiti nedir?

E = Σ 1/(2ⁿ-1) ≈ 1.60669…

1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Transandantallik: bilinmiyor.

Erdos-Borwein sabiti E, 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ toplamıdır. Paydalar, 2ⁿ − 1 Mersenne sayılarıdır. Paul Erdos 1948'de, yalnızca ikili gösterimlerin temel özelliklerini kullanarak E'nin irrasyonel olduğunu kanıtladı.

Partial sums converging to the Erdős–Borwein constant E

The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.

Seri geometrik olarak hızlı yakınsar: her terim kabaca bir öncekinin yarısıdır (büyük n için 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ olduğundan). Yalnızca 20 terimden sonra toplam 6 ondalık basamağa kadar doğrudur. E = Σ d(n)/2ⁿ eşdeğerliği (burada d(n), n'in tek bölenlerini sayar) onu bölünebilirlik teorisine bağlar.

Erdős–Borwein converges faster than Basel

E = Σ 1/(2ⁿ−1) ≈ 1.6066951524…

Basel: Σ 1/n² ≈ 1.6449 – terms decrease as 1/n²

Erdős–Borwein: terms decrease as 1/2ⁿ – geometric decay, much faster convergence

E'nin transandantal olup olmadığı açıktır. Erdos'un irrasyonellik kanıtını akılda kalıcı kılan şey, tutumluluğudur: 1, 3, 7, 15, 31… paydalarının ikili gösterimlerinin (ki bunlar ikilik tabanda 1, 11, 111, 1111, 11111'dir) toplamın rasyonel olmasını engelleyen özel bir yapıya sahip olduğu gerçeğini kullandı. Değer: 1.60669515245214159769492939967985…

Catalan Sabiti → Apéry Sabiti → Meissel-Mertens Sabiti → Champernowne Sabiti →

Series terms: denominators double each step, sum converges to E ~1.607

Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.

İlgili konular

Asallar Ln2 Champernowne

Erdos-Borwein Sabiti hakkında temel bilgiler

Erdos-Borwein sabiti E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1,60669. Paul Erdos onun irrasyonel olduğunu 1948'de, 2^n - 1 paydalarının ikili özelliklerini kullanarak kanıtladı. n'in tek bölenlerini sayan d(n) olmak üzere d(n)/2^n toplamına eşittir. Seri hızla yakınsar: her terim kabaca bir öncekinin yarısıdır. Transandantal olup olmadığı bilinmiyor. Değer: 1.60669515245214159769492939967985...

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–