Что такое константа Эрдёша - Борвейна?
Константа Эрдёша - Борвейна E - это сумма 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯. Знаменатели здесь - числа Мерсенна 2ⁿ − 1. В 1948 году Пауль Эрдёш доказал с помощью чисто элементарных свойств двоичных записей, что E иррациональна.
Частичные суммы быстро сходятся к E ≈ 1,6066951524. Знаменатели 2^n−1 растут геометрически, поэтому сходимость намного быстрее, чем в Базельской задаче.
Ряд сходится геометрически быстро: каждый член примерно вдвое меньше предыдущего, поскольку 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ при больших n. Уже после 20 членов сумма верна до 6 десятичных знаков. Эквивалентность E = Σ d(n)/2ⁿ, где d(n) - число нечётных делителей n, связывает эту константу с теорией делимости.
Неизвестно, является ли E трансцендентной. Удивительна экономность доказательства иррациональности у Эрдёша: он использовал тот факт, что двоичные записи знаменателей 1, 3, 7, 15, 31… имеют вид 1, 11, 111, 1111, 11111 и обладают особой структурой, которая не позволяет сумме быть рациональной. Значение равно 1,60669515245214159769492939967985…
Каждый знаменатель 2^n - 1 примерно вдвое больше предыдущего. Сумма сходится к E ~1,6066951524.
Простые числа · Ln2 · Чамперноун
Константа Эрдёша - Борвейна E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1,60669. В 1948 году Пауль Эрдёш доказал её иррациональность, используя двоичные свойства знаменателей 2^n - 1. Она также равна сумме d(n)/2^n, где d(n) - число нечётных делителей n. Ряд сходится быстро: каждый следующий член примерно вдвое меньше предыдущего. Является ли E трансцендентной, неизвестно. Значение: 1,60669515245214159769492939967985...
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.